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大多數(shù)在數(shù)學(xué)上正確的科學(xué)是反直覺的。 事實上，在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到這樣的情況，即我們會推導(dǎo)出我們不完全理解的東西。 歐拉恒等式這就是眾所周知的歐拉恒等式。如果你問任何一個稍微熟悉數(shù)學(xué)研究的人，他們都會認(rèn)出它。對我來說，數(shù)學(xué)最有趣的地方在于發(fā)現(xiàn)我們并不完全理解的東西。 超越數(shù)就是其中之一。我們發(fā)現(xiàn)它經(jīng)常出現(xiàn)在我們經(jīng)常使用的地方。要么是半衰期，要么是計算房屋利率，要么是計算圓周長與直徑之比。 有了0和1，以及- 1的平方根的定義，加上唯一性的一般公理，我們就可以構(gòu)建整個數(shù)字系統(tǒng)。 我們所有的知識都在這個等式中。但我們不知道為什么。這有點像萬有引力，因為牛頓知道有一個力作用在從樹上掉下來的蘋果上。但是，直到今天，我們?nèi)匀粚λ降资鞘裁从袪幾h。 斯坦福大學(xué)教授基思·德夫林談到歐拉恒等式： 就像莎士比亞的十四行詩抓住了愛的本質(zhì)，或者一幅畫展現(xiàn)了人類形態(tài)的美，而不僅僅是膚淺的，歐拉方程深入到存在的最深處。 哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)教授本杰明·皮爾斯也說過： 這“絕對是自相矛盾的，我們不能理解它，我們不知道它意味著什么，但我們已經(jīng)證明了它，因此我們知道它一定是真理。 這就是歐拉恒等式的核心。事實上，它是很多數(shù)學(xué)的核心。但是即使拋棄了整個邏輯思維和精確性，它也沒有達到真正的真實含義。 我們知道，他們以我們所知的高度精確的程度來解釋現(xiàn)實。他們模擬了我們遇到的幾乎所有東西。它們改善了社會絕大多數(shù)人的生活，而社會卻不承認(rèn)它。 它們是世界上看不見的真理。你不需要了解他們就能從他們給我們的東西中受益。 但是，如果有人問我，“為什么？”是歐拉恒等式，我不能告訴你。 這就是有趣的地方。你有一個如此強大的方程，將數(shù)學(xué)中如此多的元素聯(lián)系在一起——而且如此優(yōu)雅——但我們并沒有真正理解它。 還記得我們在歐拉恒等式中看到的e嗎？它與很多事物都有聯(lián)系，但讓我們先從它的發(fā)現(xiàn)開始，然后再進入它的奇怪之處。 1683年，Jacob Bernoulli問了一個關(guān)于復(fù)利的問題： 一個賬戶從1美元開始，每年支付100%的利息。如果利息在年底貸記一次，那么年底時賬戶的價值為2美元。如果利息在一年內(nèi)多次貸記會發(fā)生什么？ 也就是說，如果你用最初的1美元，將利息(100%)分成你想要它支付的次數(shù)，會發(fā)生什么？ 如果你想做兩次，那么每6個月會產(chǎn)生50%的利息。也就是說，你將得到： 按100%利率計算一美元本金的復(fù)利公式。n是初始1元復(fù)利的次數(shù)。換句話說，你將把100%的利息分成你想要的次數(shù)。 例如，在我們最初的情況下，每6個月，你會有： 對于伯努利來說，有趣的事情很快就變成了如何對較大的n值進行求解： 對于n = 12，得到2.613035美元。對于n = 52，得到2.692597美元。對于n = 365，得到2.714567美元。然后，對于n無窮大，將得到： 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…… 無窮大與數(shù)學(xué)之間有一種奇怪的關(guān)系。一方面，它使人類有能力更深入地觀察世界的內(nèi)部運作。另一方面，它回避了一個問題:“為什么?”。 另一個超越數(shù)同樣通過無限的使用而出現(xiàn)： 其中C是周長，d是直徑。 但是我們是怎么想到這個的呢？為什么形狀是圓？圓到底是什么？
從一個正方形開始，不斷地增加邊數(shù)。直到無窮多，當(dāng)邊數(shù)為無窮大時，π的值為： 3.14159…… 所以，當(dāng)你看一個圓的時候，你實際上是在看一個有無數(shù)條邊的多邊形。 如果我們對歐拉數(shù)好奇，我們會看到更多令人撓頭的東西。 也就是說,
e^x的導(dǎo)數(shù)和積分我們以伯努利的復(fù)合例子為例，把它推廣到求冪。也就是說，我們把e看作是一個超越常數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。即使作為一個函數(shù)，它在神秘的存在中也有一種奇妙的力量。指數(shù)函數(shù)的定義幾乎是每個人都遇到過的。
我們后面會學(xué)到，如果對它求導(dǎo)，會得到：
更重要的是，指數(shù)函數(shù)的加速能力。從指數(shù)函數(shù)中可以看出它們增長的有多快。速度和加速度是指數(shù)運算的核心。 當(dāng)我們求下面的導(dǎo)數(shù)：
我們要求出常數(shù)b使得ln(b) = 1。我們的動機是找出常數(shù)，使增長率是原來的函數(shù)。這意味著，通過可驗證的遞歸，增長率的速率也將是原來的函數(shù)。 這意味著原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的任何n次迭代或n次導(dǎo)數(shù)的n次迭代也將是原函數(shù)。再一次，我們回顧了無限的概念。
常數(shù)e，是唯一的比例常數(shù)為1的基，使得指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以e為底等于它本身。 與其他指數(shù)函數(shù)不同的是，它在各個領(lǐng)域都有許多派生，有著同樣令人困惑的解釋和含義。 為了看得更清楚：
這里
我們的極限包含了伯努利方程和復(fù)利方程的初始問題(對于特殊情況，x = 1，結(jié)果是e) 毫無疑問，這些特殊的無理數(shù)e和π深刻理解了世界的本質(zhì)以及其中的物質(zhì)和物體的行為。無論是在分布，聲波，原子和亞原子行為，賭博，生物，化學(xué)，物理。這一切都來自一個最初想要回答一個簡單的復(fù)合問題的人:
但在尋求某種封閉和某種趨同的過程中，我們似乎仍存在分歧。每解決一個問題，就會出現(xiàn)更多的問題。超驗論也是這樣產(chǎn)生的。 出現(xiàn)，但不一定能解釋“為什么”。這些數(shù)字e和π是通過好奇心和人類意志力發(fā)現(xiàn)的。我要說的是，今天我們對這些數(shù)字的了解與以往一樣多。 事實上，我們把這些都計算到十幾萬億位。
發(fā)現(xiàn)的歷史和試圖理解它的存在一樣令人困惑。
對于上面的e，泰勒級數(shù)是：
e^x的泰勒級數(shù)對于一般情況，e的1次方：
我們知道這個級數(shù)是收斂的，我們知道這個級數(shù)收斂于我們的超越常數(shù)e。 我們知道的另一個類似的級數(shù)是調(diào)和級數(shù)：
有趣的是，你會說這個東西會收斂。 前一百萬項的和大約是14.8。 但是如果我們假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂，那么我們可以這樣假設(shè)
但是
因此
這是不可能的。因此，我們知道級數(shù)是發(fā)散的。 然而在1914年，A.J.肯普納發(fā)表了一篇名為《一個奇怪的收斂級數(shù)》的論文，證明了調(diào)和級數(shù)
稍微修改一下，實際上是收斂的。也就是去掉分母中含有“9”的值的調(diào)和級數(shù)。 起初，肯普納認(rèn)為這個級數(shù)的上限應(yīng)該在80以下。從那時起，進一步的細化顯示這個級數(shù)收斂到略低于23的值，大約是22.92067。這是非常奇怪的，從發(fā)散的級數(shù)中刪除一些元素，最終將使級數(shù)收斂。 但是，大多數(shù)三位數(shù)的分母值都包含“9”，這使得級數(shù)收斂的速度幾乎不夠快。 但這顯然回避了一個問題：你能從調(diào)和級數(shù)中刪除的最小元素數(shù)量是多少才能使它收斂？
如果你用計算器，開始加1 + 2 + 3 + 4 + 5，一直加下去，不停止，你會認(rèn)為你會得到一個非常大的正數(shù)。 讓我告訴你一些完全違背直覺的事情：
也就是說，如果你把自然數(shù)相加，1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…你會得到：
首先，我們需要一些工具
我們從第三個和開始，N_2。如果我們將此和停止在偶數(shù)點，則從對稱性上我們知道該和為0。如果在奇數(shù)點停止計算，結(jié)果是1。我們先取平均值，而不考慮它的數(shù)學(xué)原理?？偤褪?/2！ 現(xiàn)在我們看一下N_1。具體來說，我們把總和乘以2。
如你所見，我們得到：
你知道嗎，原來的和，N，在括號里！ N - N_1 = 4(N)。 所以N_1 = 1/4。 所以我們要做的就是從一邊減去N，現(xiàn)在我們有： -1/4 = 3N。N=-1/12 這個結(jié)果的唯一補充就是無窮級數(shù)實際上是發(fā)散的。同時，我的最終結(jié)果依賴于其他級數(shù)的部分和。 如果你想知道結(jié)果的實用性，你可以閱讀我以前的文章：《太神奇了！所有自然數(shù)之和等于-1/12！我證明給你看！》、《理解最偉大的數(shù)學(xué)猜想——黎曼猜想》。 但是，如果你問我“為什么?”，我還是不能告訴你。
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