歐拉恒等式

但凡說起e，一個(gè)必定要提到的公式就是歐拉恒等式——被譽(yù)為世界上最美麗的公式。

數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)常數(shù)——0、1、圓周率π、自然對(duì)數(shù)的底e和虛數(shù)單位i，以及數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)符號(hào),等號(hào)和加號(hào)，就這樣通過一個(gè)簡單的恒等式聯(lián)系在了一起，實(shí)在是讓人嘆服。

這個(gè)等式有個(gè)一幾何的直觀解釋。一個(gè)實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)軸上可以用一個(gè)向量表示，旋轉(zhuǎn)這個(gè)向量，就相當(dāng)于乘以一個(gè)虛數(shù)i。據(jù)此建立一個(gè)以實(shí)數(shù)為橫軸，虛數(shù)為縱軸的坐標(biāo)系。實(shí)單位向量，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2, 可以分別得到結(jié)果1,i,-1,-i,1. 即轉(zhuǎn)4次以后就回到了原位。而當(dāng)實(shí)單位向量保持長度不變旋轉(zhuǎn)θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根據(jù)歐拉公式 e ^iθ = cosθ+isinθ可以看出 e ^iθ 就代表實(shí)單位向量1旋轉(zhuǎn)θ角后而得到的向量。所以 e ^iπ 意味著單位向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了π，結(jié)果顯然是-1。

增長規(guī)律

這個(gè)世界上有許許多多的事物滿足這樣的變化規(guī)律：增長率正比于變量自身的大小。例如放射性元素衰變的時(shí)候，衰變率就和現(xiàn)存的放射性物質(zhì)多少成正比；資源無窮多的社會(huì)，人口出生率將（近似的）和現(xiàn)存人口數(shù)成正比等等。而此類變化規(guī)律所確定的解，則是由以e為底的指數(shù)增長所描述的：如果x的變化率等于變量x自身的λ倍，那么該變量隨時(shí)間t的函數(shù)則為

其中C是任意常數(shù)。而e的直觀含義正是增長的極限，這個(gè)問題在 數(shù)學(xué)常數(shù)e的含義 中有過詳細(xì)的介紹。

正態(tài)分布

正態(tài)分布是自然科學(xué)與行為科學(xué)中的定量現(xiàn)象的一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型。各種各樣的心理學(xué)測試分?jǐn)?shù)和物理現(xiàn)象比如光子計(jì)數(shù)都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布，盡管這些現(xiàn)象的根本原因經(jīng)常是未知的。而理論上則可以證明如果把許多小作用加起來看做一個(gè)變量，那么這個(gè)變量服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布在生活中也可謂是無處不在。多次反復(fù)測量一個(gè)物理量，測出來的值一般來說總是呈正態(tài)分布；瓶裝可樂的實(shí)際體積，也是正態(tài)分布；一大群人的壽命分布、智商分布等，也都是正態(tài)分布。而正態(tài)分布的表達(dá)式中，也神奇的出現(xiàn)了e。

伽馬函數(shù)與斯特林公式

階乘運(yùn)算n！本來是定義在正整數(shù)上的。數(shù)學(xué)家最愛做的事情就是推廣，因此階乘函數(shù)自然不能幸免。當(dāng)把階乘函數(shù)推廣到定義域?yàn)閺?fù)數(shù)的時(shí)候，我們要尋找的函數(shù)就是一條通過了所有（n+1,n!）點(diǎn)的函數(shù)。所謂的伽馬函數(shù)Γ(x)滿足了這個(gè)性質(zhì)，而伽馬函數(shù)的表達(dá)式中又出現(xiàn)了e:

階乘n!與e還有另一層神秘的聯(lián)系。

當(dāng)n趨于無窮大的時(shí)候，n!滿足下面的近似關(guān)系式——斯特林公式：

（其中“~”符號(hào)表示同階，可以大致認(rèn)為是n趨于無窮大時(shí)的約等于）

要計(jì)算很大的階乘值，位數(shù)受限而不能直接用計(jì)算機(jī)求出時(shí)，就可以用斯特林公式近似求出了。

調(diào)和級(jí)數(shù)

所謂調(diào)和級(jí)數(shù)，即1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+...。它是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)，當(dāng)n趨于無窮大的時(shí)候，這個(gè)和也將趨于無窮大。但是同樣是發(fā)散的級(jí)數(shù)，發(fā)散也有快慢之分。調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散速度是怎樣的呢？偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)著名極限給出了答案：

因此調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散速度正是和以e為底的對(duì)數(shù)——ln函數(shù)的發(fā)散速度一致。

素?cái)?shù)與e

素?cái)?shù)（或稱質(zhì)數(shù)）是指除了1和它本身之外，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。素?cái)?shù)看似和e毫無聯(lián)系，可是，素?cái)?shù)分布的理論指出，素?cái)?shù)的分布與e息息相關(guān)。如果用π(x)表示不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)（注意這里的π不是圓周率！），那么素?cái)?shù)分布中心定理指出

或者可以寫成

注意到ln正是以e為底的對(duì)數(shù)?？?，e就這樣出現(xiàn)在了看似毫無關(guān)系的領(lǐng)域！

懸鏈線

數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)有一個(gè)著名問題，稱之為懸鏈線問題：一根柔軟不可伸長的鏈子，兩頭固定在空間中的兩個(gè)定點(diǎn)上（這兩個(gè)點(diǎn)不一定要等高），鏈子形成的曲線是怎樣一條曲線呢？這個(gè)問題和最速降線問題提出的時(shí)間很接近，而且參與者也大多相同。早在文藝復(fù)興時(shí)代它就已經(jīng)被達(dá)芬奇研究過，可惜并沒有得到答案。伽利略猜想答案是拋物線，這也和很多人最初的感覺是一致的，可惜后來被惠更斯在17歲的時(shí)候證明是錯(cuò)的。

和最速降線問題一樣，這一問題伯努利兄弟中的一個(gè)也曾公開征集解答，不過這次是哥哥雅各布，他在1690年的《教師學(xué)報(bào)》中發(fā)表了這個(gè)問題。在雅各布提出這一問題一年后的1691年6月，《教師學(xué)報(bào)》發(fā)表了惠更斯（當(dāng)時(shí)已經(jīng)62歲）、萊布尼茨以及約翰?伯努利提交的三份正確答案。三人的方法都不一樣，但最終的結(jié)果卻是一致的。而雅各布自己則并沒能把它解出來，這讓弟弟約翰?伯努利異常興奮。

懸鏈線的正確方程是這樣的：

它的發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)被看做是新微積分偉大成果的重要標(biāo)志。而現(xiàn)在，懸鏈線則在世界著名的標(biāo)志性建筑物——密蘇里的圣路易斯大拱門——中永垂不朽了。

e一次次如幽靈般恰當(dāng)?shù)某霈F(xiàn)在了每一處，時(shí)常給人們帶來驚喜。而上述這些，只不過它的冰山一角而已。