歐拉公式：

它是最著名的公式之一，它說明了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系。它還提供了笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的有效轉(zhuǎn)換。因此，可以在許多數(shù)學(xué)分支，物理學(xué)和工程學(xué)中找到歐拉公式。

其中e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，并且θ∈C，e^i稱為單位復(fù)數(shù)。

歐拉公式的證明:

歐拉公式的推導(dǎo)是基于指數(shù)函數(shù)e^z和三角函數(shù)sin(x)和cos(x)的泰勒級數(shù)展開，其中z∈C, x∈R。

指數(shù)函數(shù)e^z的泰勒級數(shù)展開我們得到:

現(xiàn)在，讓z=ix有以下形式:

我們對上式進(jìn)行化簡，并且由于i^2 = -1得到：

重新排列右邊的項(xiàng)，將所有 i 項(xiàng)放在最后，得到:

我們在結(jié)合cos和sin的泰勒級數(shù)展開式：

因此，它簡化為

這就是著名份歐拉公式

最后，當(dāng)我們計(jì)算x = π的歐拉公式時(shí)，得到

它對應(yīng)的幾何圖形就是

最終得到一個(gè)將e,i,π,1,0，聯(lián)系起來的公式