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目錄 導(dǎo)論這個筆記讓你看完了覺得自己也可以發(fā)明微積分，這話對不對我不知道，但是我覺得這個思想很棒，就好似我們面試中常常問到的HashMap的源碼，實際我們理解了精髓之后自己也可以實現(xiàn)我們自己的Map。 詳情可以見：自己寫一個Map 聽人說一件事情，和自己從頭到尾實現(xiàn)一件事情是很不一樣的。本文向你展現(xiàn)這些法則的來源，是很自然的規(guī)律，不要死記硬背，但是練習(xí)計算能力就只能靠你自己了。 你可以窺見 微積分的三個中心思想：積分、微分、兩者互逆。 不過故事開頭很簡單，人物是你和一個圓。你想找出圓的面積。 你在多次嘗試后將它切割成了多個同心圓：我們將厚度用符號 dr替代。這個 dr 越小，最后的結(jié)果就月準確。
當(dāng)這個 dr 越來越小后，整個就仿佛是一個三角形，其中的縫隙已不復(fù)存在。
如果你是一個數(shù)學(xué)家，還想著借此發(fā)展出能解決一般問題的工具和技巧。大量微小的數(shù)值之和來求近似。 積分
導(dǎo)數(shù)的悖論
悖論就是，先說現(xiàn)實問題，再說數(shù)學(xué)問題。 一瞬間的變化沒有什么道理，但卻是導(dǎo)數(shù)想表達出的含義。這是怎么回事？ 現(xiàn)實問題是，汽車上機速度表是怎么計算出來的？瞬時速率 這個概念又是怎樣的？ 假如說，一個汽車在行駛，我給他拍了一個照片，那么我可以通過這個照片看出來汽車的速度嗎？顯然不可以。 所以，其實我們還是取一個微小的時間間隔來計算汽車的 瞬時速率 ，也就引出了下圖我們的計算公式：
dt is not“infinitely small”，用了這個小技巧后瞬時速率就有意義了。 用幾何來求導(dǎo)
為什么一個微積分的學(xué)生，在大部分時間里面都要糾結(jié)于抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而不是在實實在在的考慮變化率的問題，這是因為許多顯示世界中的現(xiàn)象，許多我們想用微積分來分析的實際問題，都需要用到多項式，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)或者其他的純函數(shù)來表達，因此如果你可以熟練的掌握這些技巧，那你就學(xué)到了可以精確的描繪事物變化率的語言。 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是某個微小量的變化。 下面介紹幾個函數(shù)，來加深你的思維理解： f(x) = x^2
f(x) = x^3
f(x) = sinx
鏈式法則和乘積法則的形象解釋當(dāng)你的腦海中有了清晰直觀的圖像，不過將世界模型化，你用到的大多數(shù)函數(shù)，需要或多或少的混合，組合，微調(diào)這些函數(shù)。所以我們要理解一下復(fù)雜的組合是如何求導(dǎo)的。 我們遇到的函數(shù)一般只會有這三種方式的層疊，它們想變多大變多大，但是你總能得到它。 加法法則
乘積
函數(shù)復(fù)合
鏈式法則，結(jié)合上面的函數(shù)復(fù)合理解。一個一個往里面帶入，剝洋蔥呢。
指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)
所以數(shù)學(xué)家們就在想有沒有一個底數(shù)可以使這個系數(shù)為1。 所以就有了這個特殊的常數(shù)e。正是有了這個常數(shù)帶給我們的便捷，任何2t，3t這樣的函數(shù)，都可以寫成e的常數(shù)乘t次冪。
隱函數(shù)求導(dǎo)例如下圖，dx都是我假設(shè)出來的，所以還怎么說dy呢？
所以這種曲線就叫做隱函數(shù)曲線，即滿足某種關(guān)于變量x，y的性質(zhì)，所有（x，y）點的集合。而這種有多個變量的表達式求導(dǎo)究竟有什么意思呢？這個奇怪的過程就叫做隱函數(shù)求導(dǎo)。
極限求導(dǎo)的正式化，極限的ε-δ定義，以及洛必達法則的原理。 處理 0 / 0 極限，1 / 1 極限。某些時候我們可以用一下伯努利法則。
積分與微積分基本定理積分，求導(dǎo)的運算。給個例子，基于前面的理解這個很容易想明白。 積分可以用來求連續(xù)變量的平均值。我們可以通過這一點來解釋為什么積分和求導(dǎo)互為逆運算。
積分計算面積，微積分的基本定理，看圖也好理解。
高階導(dǎo)數(shù)位移--》速度--》加速度 就是一個很好的例子。
泰勒級數(shù)泰勒多項式是一種特別強大的尋找近似值的工具，而泰勒級數(shù)可以給出表示函數(shù)的新方法。 引入：高中物理問題：求單擺最低點表達式
這個cos在這里就很讓人費解，讓我們很難看出單擺和其他的振蕩現(xiàn)象之間的關(guān)系。但是如果你這樣將它近似：
可以將近似的函數(shù)設(shè)置成P（x）的樣子，通過一定會過某點可以確定常量C0，通過某確定點的斜率確定C1。
還可以在這個多項式上加幾個更高次冪的項，來近似更高階的導(dǎo)數(shù)。無論我們的高階項什么樣，都不會影響我們的低階項。（除階乘是因為求導(dǎo)后系數(shù)一次次遞減出來的）。
現(xiàn)在我們用幾何的方式來解釋泰勒多項式的二次項。
而當(dāng)我們計算無窮多項的時候我們就可以說這個泰勒多項式是泰勒級數(shù)了，如果它無限趨近某個值，我們就可以說它是收斂的。但是有的函數(shù)可能到了到高次冪后，部分區(qū)間是近似的，其他的部分會隨著高次冪的遞增 “搖擺”，我們就稱它是發(fā)散的。 擴展變換的視角，它可以和更高級的微積分知識無縫的轉(zhuǎn)換，來一個例子： 連分數(shù)-趣味題
導(dǎo)數(shù)不能知識看做表示斜率的新函數(shù)，而是反映函數(shù)對于輸入值微小變化的敏感程度，而斜率只是用圖像來分析函數(shù)時候的一種體現(xiàn)。 還有一種看導(dǎo)數(shù)的方式，輸入空間在各個區(qū)間內(nèi)被壓縮或者拉伸的程度，一種映射方式（類似倆個數(shù)軸），有點像 線代-行列式 的感覺。 回到上面的問題，我們一般可以替換之后取極限。
用映射的角度來看待這個問題（被驚艷到了）
更新中………… __EOF__  |
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