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大家好，我是科學(xué)羊。

接上篇，我們聊到了質(zhì)數(shù)的無(wú)窮奧秘和素?cái)?shù)定理的宏大圖景。

數(shù)論的浪漫，就像一首未完的交響曲。

今天我們繼續(xù)這段旅程——從“哥德巴赫的浪漫懸念”，到“費(fèi)馬留下的世紀(jì)難題”，再到“虛數(shù)的誕生與藏寶圖的秘密”。這些看似枯燥的概念，背后都藏著人類(lèi)智慧的執(zhí)念與想象。

1742年，普魯士數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出了一個(gè)看似簡(jiǎn)單的想法：“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?！?/span>

12=5+7，24=17+7，32=29+3……隨便一試，好像都能成立。

于是，這個(gè)命題被稱(chēng)為“哥德巴赫猜想”。

將一個(gè)偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的方法，等于同一橫線上，藍(lán)線和紅線的交點(diǎn)數(shù)。

問(wèn)題是，直覺(jué)和真理之間，往往隔著深淵。

到今天為止，哥德巴赫猜想依然沒(méi)有被證明，也沒(méi)有找到反例。它就像一道優(yōu)雅的懸念，讓幾代數(shù)學(xué)家徹夜難眠。

不過(guò)，人類(lèi)并不是毫無(wú)進(jìn)展。

1930年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家施尼雷爾曼證明：任何一個(gè)足夠大的整數(shù)，都可以寫(xiě)成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的和。他的初始結(jié)果里，這個(gè)“有限個(gè)”多達(dá)30萬(wàn)，但至少說(shuō)明了路是可走的。

后來(lái)，維諾格拉多夫進(jìn)一步突破，他證明了：所有足夠大的奇數(shù)都能寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數(shù)的和。從而也推出：所有足夠大的偶數(shù)可以寫(xiě)成四個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

從“四”到“二”，只差最后一步。

可這一步，似乎是最難的。它或許只差一個(gè)靈光乍現(xiàn)，或許還要等待下一個(gè)世紀(jì)。

哥德巴赫猜想之所以迷人，正是因?yàn)樗绱恕坝H切”卻又“遙不可及”。就像一道家常菜的配方，你明明覺(jué)得能做出來(lái)，卻怎么也沒(méi)能端上桌。

相比哥德巴赫猜想的浪漫，費(fèi)馬大定理更像一部曠日持久的連續(xù)劇。

故事要從古埃及的木匠說(shuō)起。

他們知道，邊長(zhǎng)3:4:5的三角形一定是直角三角形。這是最古老的“畢達(dá)哥拉斯三元組”，也稱(chēng)勾股定理。

用方程寫(xiě)出來(lái)，就是：

它的整數(shù)解不止一個(gè)，而是無(wú)窮多個(gè)。

到了17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在讀丟番圖《算術(shù)》時(shí)，隨手在書(shū)頁(yè)邊寫(xiě)下了一句話：

“當(dāng)指數(shù)大于2時(shí)，方程 x^n+y^n=z^n 沒(méi)有整數(shù)解。我已經(jīng)找到了一個(gè)絕妙的證明，但頁(yè)邊太窄寫(xiě)不下?！?/span>

就是這句話，把后世三百多年最聰明的人都“吊”了起來(lái)。

數(shù)學(xué)家們一個(gè)個(gè)嘗試復(fù)原這個(gè)所謂的“絕妙證明”。

歐拉證明了 n=3,4的情形，狄利克雷和拉梅拿下 n=5,7，后來(lái)又有人把可證明的范圍推進(jìn)到更大的指數(shù)。但無(wú)論如何，都無(wú)法給出一個(gè)對(duì)所有指數(shù)都成立的統(tǒng)一證明。

安德魯·懷爾斯

直到1994年，英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯，孤獨(dú)地在書(shū)房里潛心研究多年，終于用現(xiàn)代數(shù)論和代數(shù)幾何的工具，證明了費(fèi)馬大定理。

那一年，他在劍橋大學(xué)的講堂上，平靜地寫(xiě)下最后一個(gè)等式，全場(chǎng)起立鼓掌。這場(chǎng)“數(shù)學(xué)懸疑劇”，終于落幕。

諷刺的是，學(xué)界幾乎一致認(rèn)為：費(fèi)馬本人當(dāng)年不可能掌握如此復(fù)雜的工具，他的“絕妙證明”大概率是錯(cuò)的?？蛇@并不妨礙這條批注，成為數(shù)學(xué)史上最傳奇的一筆。

如果說(shuō)質(zhì)數(shù)讓人困惑，費(fèi)馬讓人執(zhí)念，那么虛數(shù)則讓人懷疑人生。

問(wèn)題很簡(jiǎn)單：負(fù)數(shù)有平方根嗎？

因?yàn)檎龜?shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，所以古人一致認(rèn)為——沒(méi)有。

復(fù)平面的圖示。虛數(shù)位于垂直坐標(biāo)軸之上。

但16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在研究方程時(shí)，偏偏遇到了負(fù)數(shù)開(kāi)方的問(wèn)題。他硬著頭皮寫(xiě)下了那些“不存在的數(shù)”，雖然心里明白“這不過(guò)是虛構(gòu)”。

然而，數(shù)學(xué)的歷史常常如此：只要有人敢于“胡寫(xiě)”，就有人能在“虛構(gòu)”里找到真實(shí)。

漸漸地，人們發(fā)現(xiàn)這些“虛數(shù)”不僅能自洽，還能解決許多實(shí)實(shí)在在的問(wèn)題。

歐拉引入了符號(hào) 

復(fù)數(shù) a+bi誕生。

真正讓虛數(shù)“落地”的，是幾何解釋。18世紀(jì)末，挪威測(cè)量師韋塞爾和法國(guó)會(huì)計(jì)師阿爾岡，提出了復(fù)平面的圖像：

• 實(shí)數(shù)在橫軸；

• 純虛數(shù)在縱軸；

• 點(diǎn) a+bi就在坐標(biāo) (a,b)。

更神奇的是：把一個(gè)數(shù)乘以 i，等價(jià)于讓它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

于是 i^2=?1 這個(gè)神秘結(jié)論，變得像“旋轉(zhuǎn)兩次90°，方向相反了”一樣自然。

從此，虛數(shù)不再是“胡說(shuō)八道”，而是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理的基石。交流電、信號(hào)處理、量子力學(xué)，處處都離不開(kāi)它。

當(dāng)然，有一個(gè)小故事，可以讓虛數(shù)的神奇更加直觀。

一位冒險(xiǎn)家在羊皮紙上發(fā)現(xiàn)藏寶圖：

• 島上有一棵橡樹(shù)、一棵松樹(shù)，還有一個(gè)絞刑架；

• 從絞刑架走到橡樹(shù)，右轉(zhuǎn)90°走同樣步數(shù)，做記號(hào)；

• 再?gòu)慕g刑架走到松樹(shù)，左轉(zhuǎn)90°走同樣步數(shù)，再做記號(hào)；

• 兩個(gè)記號(hào)的中點(diǎn)，就是寶藏。

冒險(xiǎn)家找到了橡樹(shù)和松樹(shù)，卻發(fā)現(xiàn)絞刑架早已不見(jiàn)。他絕望地挖遍全島，最后空手而歸。

其實(shí)，復(fù)數(shù)可以解開(kāi)謎題。

• 把橡樹(shù)放在 ?1，松樹(shù)放在 +1，島嶼就成了復(fù)平面；

• “右轉(zhuǎn)90°”是乘以 -i，“左轉(zhuǎn)90°”是乘以 i；

• 做一番推算后，絞刑架的坐標(biāo)項(xiàng)神奇地抵消掉了，最后答案固定落在：

也就是說(shuō)，無(wú)論絞刑架在哪兒，寶藏都在 i 點(diǎn)。

如果冒險(xiǎn)家懂點(diǎn)數(shù)學(xué)，他會(huì)直接在“虛數(shù)軸正方向的一個(gè)單位”處挖寶，而不是在島上亂挖。

這個(gè)故事告訴我們：虛數(shù)不僅是抽象的符號(hào)，它能幫我們消除未知、抓住本質(zhì)。真正的數(shù)學(xué)，總能把復(fù)雜世界變得簡(jiǎn)潔而清晰。

從哥德巴赫猜想的浪漫，到費(fèi)馬大定理的執(zhí)念，再到虛數(shù)的神奇與藏寶圖的解法，我們能看到數(shù)學(xué)的雙重身份：

• 它是一門(mén)追求純粹的思維藝術(shù)，喜歡在抽象中徜徉；

• 它也是解決現(xiàn)實(shí)的強(qiáng)大工具，總能在需要時(shí)出手相助。

數(shù)學(xué)看似高冷，卻一次次證明自己并非象牙塔的裝飾，而是人類(lèi)認(rèn)知世界最鋒利的鑰匙。她的魅力，在于既能給出理性的定律，也能保留浪漫的懸念。

也許這正是為什么，哪怕我們永遠(yuǎn)走不到“數(shù)學(xué)的盡頭”，依然愿意追隨她的原因。

好，今天就先這樣啦～

科學(xué)羊??  2025/09/03

祝幸福~