在上一個(gè)問題中，我們寫下了麥克斯韋速率分布的函數(shù)式，驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布滿足歸一化條件。利用驗(yàn)證歸一化條件時(shí)實(shí)施的數(shù)學(xué)處理方法，得到了兩個(gè)重要的積分公式：接下來，我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)兩個(gè)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均。
一個(gè)最迫切要求的物理量是速率的平方的平均值。從前面的討論中我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，這個(gè)物理量與宏觀物理量壓強(qiáng)和溫度直接聯(lián)系起來。根據(jù)速率分布函數(shù)的物理意義，速率的平方的平均值可以這樣計(jì)算：對(duì)等式右邊的純數(shù)學(xué)積分做一次分部積分：于是，氣體粒子的微觀運(yùn)動(dòng)能量的平均值：這正是在《溫度的本質(zhì)》一文中給出的結(jié)果，當(dāng)時(shí)，我們將宏觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果與用理想氣體的微觀模型推導(dǎo)出的壓強(qiáng)公式做比較，從而得到了這個(gè)結(jié)果。
對(duì)速率的平方的平均值做開平方運(yùn)算，就得到一個(gè)重要的物理量：(平) 方 (平) 均 (的平方) 根速率：速率的下標(biāo) rms 是英文 root mean square 的縮寫。
在計(jì)算上述平均值的過程中，我們得到一個(gè)重要的積分公式 。受這個(gè)公式的計(jì)算方法的啟發(fā)，可以對(duì)自變量的任意偶次冪計(jì)算如下積分：對(duì)這個(gè)積分實(shí)施若干次分部積分后，最終可以得到第二個(gè)令人感興趣的物理量是速率的平均值。仿照速率平方的平均值的計(jì)算方法，速率的平均值可以這樣計(jì)算：
做與上述相同的變量替換，平均速率的計(jì)算式變成其中的積分是一種最常見的積分，很容易得到積分結(jié)果：與自變量的任意偶次冪的積分 相似，可以用分部積分的方法求出自變量的任意奇次冪的積分：對(duì)積分實(shí)施若干次分部積分后，最終可以得到方均根速率和平均速率是氣體粒子的速率按不同的平均方式求出的平均值，它們與最概然速率一起，是表征氣體粒子微觀運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的三個(gè)重要的物理量。在《麥克斯韋速率分布》一文中，已經(jīng)定性地給出了這三個(gè)特征速率之間的數(shù)值關(guān)系。
