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給出了麥克斯韋速率分布的函數(shù)式，引入了最概然速率的概念，驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布滿足歸一化條件。
在討論氣體的粒子數(shù)按速率分布的問題中，我們引入了速率分布函數(shù)的概念，并提出了確定速率分布函數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法。其實(shí)，在能夠通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定速率分布函數(shù)之前，麥克斯韋已經(jīng)從理論上導(dǎo)出了這個(gè)函數(shù)的形式：在目前的知識(shí)層面下，我們暫時(shí)不去理會(huì)如何得到這樣一個(gè)函數(shù)，僅滿足于接受它的正確性。在稍后的課程中，我們將進(jìn)一步討論如何從理論上導(dǎo)出這個(gè)函數(shù)。 如下左圖是根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)畫出的函數(shù)曲線圖。從曲線圖可以看出，速率分布函數(shù)曲線就像一條鐘形曲線，氣體粒子的速率可以取從 0 到 之間的一切數(shù)值，速率很低和很高的粒子所占的比例很小，具有中等速率的粒子占了極大的比例。
鐘形曲線必定有一個(gè)極大值，對(duì)應(yīng)的速率被稱為最概然速率，用符號(hào) 標(biāo)記，它的物理意義很清楚：粒子的速率取 的可能性最大，如上左圖所示，圖中還標(biāo)出了另外兩個(gè)重要的速率值，我們稍后再做討論。根據(jù)高等數(shù)學(xué)中尋找函數(shù)的極大值點(diǎn)的知識(shí)，通過將速率分布函數(shù)對(duì)速率求導(dǎo)數(shù)，就能夠確定分布函數(shù)曲線的最高點(diǎn)：當(dāng)速率取最概然速率值 時(shí)，分布函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于 0，由此得到最概然速率由麥克斯韋速率分布函數(shù)的形式和最概然速率的表達(dá)式可以得知，鐘形曲線的形狀隨系統(tǒng)的溫度和成分而改變：對(duì)同一種成分的氣體，溫度越高，曲線將朝向速率越高的方向擴(kuò)展，并且變得越平緩。這顯示，溫度越高，氣體中速率較高的粒子越多，從而使最概然速率變得越高，如上中圖所示；類似地，在同一溫度下，粒子質(zhì)量越小的氣體，其曲線也會(huì)朝向速率越高的方向擴(kuò)展，如上右圖所示。有了速率分布函數(shù)，就可以求出各種微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均。不過，在開始做這些事情之前，驗(yàn)證麥克斯韋速率分布是否滿足歸一化條件是有好處的。驗(yàn)證歸一化條件時(shí)所實(shí)施的數(shù)學(xué)處理方法，可以用來處理物理學(xué)中許多其他數(shù)學(xué)問題。 把麥克斯韋速率分布函數(shù)代入歸一化條件的積分式中：等式右邊的積分是一個(gè)純數(shù)學(xué)的積分，對(duì)它做一次分部積分得到要把積分 做出來，需要使用一個(gè)簡單的積分技巧，這個(gè)技巧在解決許多問題時(shí)很有用。為了計(jì)算 ，先把 算出來：在運(yùn)算的過程中已經(jīng)利用了積分變量可以用任意字母書寫這個(gè)特點(diǎn)，把一個(gè)積分的平方寫成兩個(gè)積分的乘積，這兩個(gè)積分各自使用了不同的字母作為自變量。當(dāng)把同一個(gè)積分寫成這樣兩種形式之后，它們內(nèi)部的積分變量就是相互獨(dú)立的，從而使得整個(gè)式子就好像直角坐標(biāo)系中的一個(gè)二維積分。 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，我們把計(jì)算兩個(gè)一維積分的乘積轉(zhuǎn)變成計(jì)算一個(gè)二維積分。
為了算出這個(gè)二維積分，我們把用直角坐標(biāo)表示的積分式轉(zhuǎn)變成用極坐標(biāo)表示的積分式。在直角坐標(biāo)表示中，積分面元的面積可以表示成 ，如上左圖所示。當(dāng)把積分轉(zhuǎn)變到用極坐標(biāo)表示時(shí)，積分面元的面積就變成 ，如上右圖所示。從用直角坐標(biāo)表示的積分上下限可以判斷，積分在第一象限內(nèi)完成。因此，在轉(zhuǎn)變到用極坐標(biāo)表示時(shí)，積分變成了如下形式：把這個(gè)結(jié)果代入歸一化積分中，最終驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布滿足歸一化條件：在驗(yàn)證麥克斯韋速率分布滿足歸一化條件的過程中，我們得到了兩個(gè)重要的積分結(jié)果 和 ，這兩個(gè)結(jié)果以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理方法在其他物理問題中也非常有用。
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