在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應(yīng)點P’在線段OP或其延長線上，連接將所得多邊形以點O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，記為O(k，逆θ)，如果是順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，則記為O(k,順θ)，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，其中O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角

(1)填空：①如圖1，將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A(_____,_______); 

②如圖2，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A(,逆90°)，得到△ADE，則線段BD的長為____cm；

(2)如圖3，△ABC經(jīng)過B(k₁,逆α)得到△EBD，又將△ABC經(jīng)過C(k₂,順β)，得到△FDC，連接AE、AF，求證：四邊形AFDE是平行四邊形；

(3)如圖4，在△ABC中，∠A=150°，AB=6，AC=3，若△ABC經(jīng)過(2)中的變換得到的四邊形AFDE恰好是正方形時，則AE的長為___________

解：(1)(2,逆60°)   BD=2cm；

(2)由已知得△BDE~△BCA，△CAF~△CBD，得
，又△BAE~△BCD，得，得

又△CAF~△CBD,得，得DE=AF，同理可得AE=DF，故AFDE為平行四邊形；

(3)當(dāng)AFDE為正方形時，∠EAF=90°，得∠EAB+∠CAF=120°，又∠CDF=∠CBA，∠BDE=∠BCA，而∠CBA+∠BCA=30°得∠BDE+∠CDF=30°，得∠BDC=60°

由(2)知，，，DE=DF,AC=3,AB=6,得k₁=2k₂,而BD=k₁BC,CD=k₂BC,故BD=2CD，故∠BCD=90°，故AB=AE，得AE=2

點評：題目以旋轉(zhuǎn)相似為背景，學(xué)生要從二次相似中找到關(guān)鍵比例得平行四邊形.壓軸一問則考驗學(xué)生的畫圖能力，同時根據(jù)畫出的圖形求出BD和CD的關(guān)系.當(dāng)然，此題可以尺規(guī)作圖為考查點，則區(qū)分度會更高.

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