昨天的文章，公式錯(cuò)亂，十分抱歉。排版問(wèn)題一直是個(gè)老大難，真是術(shù)業(yè)有專攻啊。也曾經(jīng)有讀者建議改成圖片發(fā)布，但考慮到高中學(xué)業(yè)繁忙，節(jié)省孩子的時(shí)間（可以復(fù)制出來(lái)，也便于打印，圖片有時(shí)打印會(huì)很模糊，也會(huì)較慢），還是堅(jiān)持用手去敲，用一些公式軟件去寫，去拷，但不清楚軟件之間的兼容性問(wèn)題，以至于排版出來(lái)，就是大家見到的結(jié)果。今天在本文后面會(huì)對(duì)其進(jìn)行修正。

導(dǎo)數(shù)的一個(gè)題型—極值點(diǎn)偏移，就洋洋灑灑的寫了還幾篇文章去講解，這里主要是傳達(dá)給孩子一個(gè)提高高中數(shù)學(xué)成績(jī)的最為有效且核心的準(zhǔn)則：深挖課本知識(shí)點(diǎn)，將書讀厚!這也是本公眾號(hào)的一個(gè)初心。

本篇文章會(huì)借助極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，帶領(lǐng)大家一起“將書讀薄”。接下來(lái)讓我們開啟這段旅程。

極值點(diǎn)全面要點(diǎn)總結(jié)

學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，大家要對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)。將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所涉及到的題型、以及這些題型所使用的【轉(zhuǎn)化與化歸】的解題思路做一個(gè)匯總。這樣整個(gè)知識(shí)點(diǎn)從全局上基本上把握住了。

回想一下，前面幾章講過(guò)的都有哪些內(nèi)容呢？結(jié)合自己平時(shí)做過(guò)的練習(xí)題，特別是歷年高考數(shù)學(xué)真題考函數(shù)極值點(diǎn)偏移的相關(guān)題目，先來(lái)總結(jié)一下最為常見的題型，其本質(zhì)是一樣的。

1. 零點(diǎn)偏移型【函數(shù)與方程思想】?

o ?形式?：已知 f(x₁)=f(x₂)=0，證明 x₁+x₂>2x₀ 或 x₁+x₂<2x₀。

o ?示例?：f(x)=lnx?x 的零點(diǎn) x₁,x₂ 滿足 x₁+x₂>2。

2. ?等值點(diǎn)偏移型【函數(shù)與方程思想】?

o ?形式?：已知 f(x₁)=f(x₂)=m（m為常數(shù)），證明 x₁+x₂>2x₀ 或 x₁+x₂<2x₀。

o ?示例?：f(x)=e^x?x² 與水平線 y=m的交點(diǎn) x₁,x₂滿足 x₁+x₂>1。

3. ?導(dǎo)數(shù)偏移型【函數(shù)與方程思想】?

o ?形式?：已知 f(x₁)=f(x₂)，證明 f′(x₁+x₂)>0 或 f′(x₁+x₂)<0?。

o ?應(yīng)用?：用于判斷極值點(diǎn)偏移方向。

以上，轉(zhuǎn)換了一下格式，希望不會(huì)亂。

進(jìn)一步細(xì)化一下，用表格表達(dá)：

將這些內(nèi)容進(jìn)一步濃縮，氪金腦袋里。

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題本質(zhì)是函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的非對(duì)稱性，其一般形式包括零點(diǎn)偏移、等值點(diǎn)偏移和導(dǎo)數(shù)偏移三類。

解決時(shí)通常結(jié)合函數(shù)性質(zhì)選擇構(gòu)造法、不等式或泰勒展開等工具?。

練習(xí)升華

學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則怠。這句話耳熟能詳，但是真正能左右應(yīng)用的又有幾人呢？這樣的名言之所以能夠流傳千古，必然有其過(guò)人之處，結(jié)合自己目前的學(xué)習(xí)困境，仔細(xì)品味一下這句話。

下面帶領(lǐng)大家做一道題，感受一下，最近講到的這些內(nèi)容在高考真題中的具體運(yùn)用。

看下面一道例題：

f(x)=lnx-(ax+1/x),若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x_1,x₂，求證：x₁x₂ >2e²

先來(lái)觀察一下，f(x)的結(jié)構(gòu)看著很簡(jiǎn)單，雖然有一個(gè)參數(shù)a，并且題目中出現(xiàn)了“零點(diǎn)”，而待求問(wèn)題是一個(gè)不等式證明，且是零點(diǎn)積的形式。再觀察一下f(x)貌似符合極值點(diǎn)偏移的特征。

若按照極值點(diǎn)偏移思路去求解，就需要求出極值點(diǎn)。但這里有個(gè)參數(shù)a，直接確定不了極值點(diǎn)。若直接嘗試零點(diǎn)與a建立聯(lián)系，因?yàn)閒(x)整體上是一個(gè)超越函數(shù)，也很難將零點(diǎn)表示成a的形式。且問(wèn)題中不含a，說(shuō)明要證明的問(wèn)題與a無(wú)關(guān)。

      怎么辦呢？再觀察一下，對(duì)于f(x),參數(shù)a是很容易分離出來(lái)的。f(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)，很容易變形表示為a=lnx/x-1/x^2【參變分離】。令h(x)=lnx/x-1/x^2,則說(shuō)明h(x)與a有兩個(gè)交點(diǎn)【函數(shù)與方程思想】，到這里大家能看懂吧。將參數(shù)a轉(zhuǎn)化成了一個(gè)函數(shù)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題。

      接下來(lái)看看能不能求出極值點(diǎn)。h’（x）=（x-xlnx+2）/x^3，還是一個(gè)超越方程，還是不能求出極值點(diǎn)。又遇到問(wèn)題了。

      兵來(lái)將擋水來(lái)土掩么，繼續(xù)尋找突破之法！既然極值點(diǎn)不能求了，再觀察一下對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，最為常用的方法就是【設(shè)而不求】。

令x₁<x_2，有這個(gè)等式成立:

      ^{則根據(jù)對(duì)數(shù)單身狗原則，相似項(xiàng)整理到等式兩側(cè)：}

      ^{對(duì)于指對(duì)函數(shù)的處理，通常有兩種方法，同異構(gòu)和放縮。在上面最后一步我們就用了放縮代換。這樣一代換有個(gè)什么好處呢，分式項(xiàng)分母沒了，這是我們希望看到的。再回看上面，在求極值點(diǎn)時(shí)，是一個(gè)耦合的超越函數(shù)，很難求出極值點(diǎn)。}

     ^{經(jīng)過(guò)這一下列操作轉(zhuǎn)換，就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的一致函數(shù)。}

     ^{m(x)=ln(x)/x+x^2/4e^4,接下來(lái)就是證明m（x）的單調(diào)性即可。這里都能看明白吧。}

      ^{令n(x)為：}

      ^{則反推回去，n’（x）是單調(diào)遞增的，接下來(lái)要找n’（x）=0的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著n(x)的極值點(diǎn)。怎樣找這個(gè)點(diǎn)呢？當(dāng)然是利用【零點(diǎn)存在定理】。要了這么一大圈，終于有眉目了。}

      ^{找到x上的兩個(gè)值，一個(gè)值n’（x1）>0,另一個(gè)值n'(x2)<0,這在x1和x2之間必然存在x0,使得n’（x0）=0。想到了什么？零點(diǎn)代換！得到n（x）的最值。同時(shí)也得到了n(x)在極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性。再反推回去即證。這里看明白了嗎。}

     ^{仔細(xì)想想，就是繞來(lái)繞去，只要順著接頭，慢慢縷一下還是比較清晰的。}

     ^{總結(jié)一下：這道題考察的知識(shí)點(diǎn)沒有大家從來(lái)沒有見過(guò)的陌生的東西吧（重點(diǎn)看紅色字體）。想通過(guò)這道題表達(dá)一下高考人的命題思路：}

      ^{題目看著很熟悉，但處處都是坑，如何填坑，遇河搭橋，正式我們要學(xué)習(xí)的。}

      ^{不同的知識(shí)點(diǎn)，重新組合一下，題目的難度可以直線上升。}

      ^{遇到坐不下去的時(shí)候，要么調(diào)整解題思路，要么進(jìn)行化歸，多想一想，遇到某種代數(shù)結(jié)構(gòu)或具體概念常用的解題方法是什么【如本題的放縮與隱零點(diǎn)代換問(wèn)題】}

糾錯(cuò)