函數(shù)一階導(dǎo)與凸凹性的關(guān)系

一階導(dǎo)數(shù)反應(yīng)函數(shù)的“單調(diào)性”，是函數(shù)曲線的瞬時變化率...。我相信學(xué)過函數(shù)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)對于這些“話術(shù)”，耳熟能詳。但是對這些“論述”真真正正的理解了嗎？則不盡然。

如果給出符合下列圖像的函數(shù)復(fù)雜解析式（圖像未給出），其中2x0=x1+x2（x0為函數(shù)的隱零點），需要判斷2f(x0）與f(x1)+f(x2)的大小關(guān)系，我們需要如何解決呢？這里先看一下下面函數(shù)圖像，有助于直觀理解：

A\以上函數(shù)圖像，只有中間圖像是單調(diào)遞增函數(shù)。

B\以上函數(shù)圖像，以上函數(shù)均有存在兩個以上的凸凹性，因為f'’（x）<>0

接下來做一下分析，對于函數(shù)單調(diào)性，還是從基本定義出發(fā)，函數(shù)的單調(diào)性與其一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。顯然，一階導(dǎo)數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)的值域只要是大于零，那么說明該函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)【從曲線的切線上更容易直觀判斷】。顯然以上三個函數(shù)圖像均為單調(diào)遞增函數(shù)。

大家想一下，都是單調(diào)遞增函數(shù)，為什么函數(shù)的形態(tài)不盡相同呢？因此，引出了函數(shù)的凸凹性，進一步補充。函數(shù)的凸凹性對應(yīng)著函數(shù)的局部變化趨勢的快慢，反應(yīng)到圖形上，就是切線的瞬時變化率，這個變化率引起了函數(shù)姿態(tài)的多姿多彩。

二階導(dǎo)數(shù)影響一階導(dǎo)數(shù)的變化速率，一階導(dǎo)數(shù)影響原函數(shù)值域的增減性，原函數(shù)。因此這個過程可以反過來看，二階導(dǎo)數(shù)-》一階導(dǎo)數(shù)-》原函數(shù)。這里仔細理解一下是不是這個道理。實際上函數(shù)的凸凹性直觀上看就是函數(shù)的曲率問題?！緮?shù)學(xué)的逆向思維】

函數(shù)一階導(dǎo)與連續(xù)性關(guān)系

什么是函數(shù)的連續(xù)性？函數(shù)連續(xù)性的條件是什么？能否在腦海里快速浮現(xiàn)出來準確、嚴謹?shù)谋磉_？

連續(xù)性的核心定義?

函數(shù) f(x) 在點x0 處連續(xù)需同時滿足以下三個條件（充分必要條件）：

·?存在性?f(x0)有定義（即x0在函數(shù)定義域內(nèi)）?。

·?極限存在?:limx→x0f(x)存在（左右極限均存在且相等）?。

·?極限等于函數(shù)值?：limx→x0       f(x)=f(x0)。

很多同學(xué)，做題時不喜歡回顧最為基礎(chǔ)的定義、概念，就喜歡想當然，有疑問也不去回頭翻書查資料，得過且過，不會走，就想跑。這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“大忌”之一。學(xué)習(xí)就很浮躁，基礎(chǔ)機會很不牢固扎實。等到了高三一輪復(fù)習(xí)以后，綜合題目越來越多，自己欠缺的知識漏洞越多，高考數(shù)學(xué)成績也就越差。

這里多說一點，高考數(shù)學(xué)卷的題目怎么都似從相識，但是就是無從下筆，拿不到好點的成績呢？因為命題組在命題前會做各種調(diào)研，現(xiàn)在加上人工智能，大數(shù)據(jù)的加持，很容易獲得大家的學(xué)業(yè)水平，哪些知識點易錯，哪些數(shù)學(xué)思想沒有掌握，將這些類型變著法的融入到高考數(shù)學(xué)題中。大多數(shù)學(xué)生就很難拿到好的分數(shù)了。

這里面最大的原因就是大家的基礎(chǔ)不牢！見形就知道表面上的東西，很難知其考察的本意。有點跑題了，再回來。

為什么要說函數(shù)的連續(xù)性呢？

因為高考最長考察的就是函數(shù)的【有界性、最值定理和介值定理】的應(yīng)用，這些定理是以函數(shù)連續(xù)性作為前提的。

同時若函數(shù)不連續(xù)，有涉及到【分類討論的思想】，如分段函數(shù)。看下面一個例子：

很多同學(xué)沒有分類討論，單純的認為g(x)中的f(x)=e^2x,f(x-1/2)=x-1/2,對么？為什么不對。這樣一提示，大家立馬就能看出問題所在了吧。

分情況討論：

x>0,x-1/2>0。f(x)=e^2x,f(x-1/2)=e^2x

x>0,x-1/2<0。f(x)=e^2x,f(x-1/2)=x-1/2

x<0,x-1/2>0(舍去)

x<0,x-1/2<0。f(x)=x-1/2,f(x-1/2)=x-1/2

就這么一道簡單題（放在模擬卷第一題的位置），很多尖子生，錯的也是一塌糊涂。這道題難嗎？不難。為什么做不對？數(shù)學(xué)是一門很嚴格的學(xué)科，高考要考察的就是同學(xué)們的思維嚴謹性。拿到一道題目要仔細推敲。