構造相似解決無刻度直尺作圖問題

問題1：如圖，A、B、C都是格點，僅用無刻度的直尺完成下列畫圖

(1)如圖1，F是格點，在BC上畫點H，使∠CAH=∠BAF；

(2)如圖2中，在AC上畫點D，使∠DBC=∠BAC

解：(1)方法與原理：

①取格點E；②連接BE交格線于點G，連接AG交BC于點H；

原理1：作∠HAB=∠CAF，而tan∠CAF=3/4

①取格點E，連接BE，此時△ABM≌△BEN，可得∠ABE=90°；

②BE與格線交于點G，此時△GPE~△BNE，BG=3/4BE=3/4BA; 

③連接AG，此時tan∠BAG=3/4,即有∠BAH=∠CAF，即有∠CAH=∠BAF

原理2：由tan∠BAF=1/4,在BC上取使tan∠CAH=1/4

①取格點E,連接BE交格線于點G，連接CG；

②此時BG：GE=3：1,GQ=3/4; 

③tan∠ACB=tan∠CGQ=4/3，于是∠ACG=90°；

④CG=5/4，AC=5，tan∠CAH=1/4

如圖2中，在AC上畫點D，使∠DBC=∠BAC

解：方法與原理：

①取格點E連接BE，此時∠CBE=∠BAI，再作∠EBD=∠CAI即可；

注意到tan∠CAI=3/4,考慮構造與△ACI相似的直角三角形，考慮過點E作BE的垂線；

可假想存在點P，則此時連接EP，即EP⊥BE,注意到PE與格線的交點G恰好為中點，故此時可考慮借助平行取中點；

②取格點M、N連接MN交格線于點G，延長交格線于點F，連接BF交AC于點D；

注意到EF=3/4EP=3/4EB，此時tan∠FBE=3/4即有∠FBE=∠CAI，即有∠DBC=∠BAC；

問題2：如圖，A、B、C、D都是格點，僅用無刻度的直尺完成下列畫圖

(1)在圖1中，在AC上畫點P，使得tan∠ABP=2/3

(2)在圖2中，在AB上畫點E，使得tan∠ADE=3/2

方法與原理1：

①取格點N，連接AN，此時有△ABG≌△NAM；

②AN與格線交于點S，連接BS交AC于點P，P即為所求；

注意到AS=2/3AN=2/3AB,此時有tan∠ABP=2/3
方法與原理2：

①取格點D、W，連接AW，此時有AW⊥AC；

②連接UV交AW于點F，連接DF交AB于點E，E即為所求；

注意到AF=3/2AW=3/2AD,此時有tan∠ADE=3/2.

點評：對于上述此類問題，要注意將問題轉化，核心是利用格點與平行格線，去截取相應的長度，從而構造出相等的角.

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