打開今日頭條查看圖片詳情

#初中數(shù)學(xué)有哪些重要的幾何模型#

很多同學(xué)做幾何題時(shí)總覺得“這題看著眼熟，就是想不出怎么解”——其實(shí)你不是不會(huì)，是沒認(rèn)出題里藏的“幾何模型”。這些模型就像數(shù)學(xué)里的“解題模板”，中考60%以上的幾何題都圍著它們轉(zhuǎn)。今天就把最核心的4個(gè)模型講透，連“怎么認(rèn)、怎么用”的方法一起給你，下次見題就能秒反應(yīng)。

一、手拉手模型：等腰三角形“轉(zhuǎn)圈圈”，全等立刻現(xiàn)

怎么認(rèn)：抓兩個(gè)關(guān)鍵特征

• 存在兩個(gè)等腰三角形且共享公共頂點(diǎn)（如△ABC與△ADE均為等腰三角形，頂點(diǎn)A為公共點(diǎn)）；
• 兩等腰三角形頂角相等（如均為90°直角、60°銳角，或等邊三角形頂角60°）。
  舉個(gè)栗子：△ABC和△ADE都是等邊三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，這就是標(biāo)準(zhǔn)的手拉手模型，繞著A點(diǎn)“拉手”一轉(zhuǎn)，全等三角形就冒出來了。
  中考?？?/span>：證線段相等（比如BD=CE）或證角度恒等（比如∠BEC=60°）。
  解決方法：三步找全等
  ① 標(biāo)“拉手邊”：把兩個(gè)等腰三角形的腰標(biāo)出來（AB=AC，AD=AE）；
  ② 找“夾角相等”：因?yàn)椤螧AC=∠DAE，加公共角∠CAD，得∠BAD=∠CAE；
  ③ 用SAS證全等：△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，全等！BD=CE就出來了。
  易錯(cuò)點(diǎn)：別找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊！很多同學(xué)會(huì)把底邊BC和DE當(dāng)對(duì)應(yīng)邊，其實(shí)手拉手的對(duì)應(yīng)邊是公共頂點(diǎn)連的腰（AB和AD、AC和AE），認(rèn)準(zhǔn)這個(gè)就不會(huì)錯(cuò)。

二、一線三垂直模型：三個(gè)直角“站一排”，直角三角形全等跑不了

怎么認(rèn)：看“一條線+三個(gè)直角”
典型圖形是：有一條直線l，上面有三個(gè)點(diǎn)B、C、D，分別作AB⊥l，CE⊥l，DF⊥l，且AB=DF，這就是一線三垂直。坐標(biāo)系里更常見，比如點(diǎn)A(2,3)，在x軸上找B、C使AB⊥BC且AB=BC，本質(zhì)也是這模型。
中考常考：求點(diǎn)坐標(biāo)或證線段相等。
解決方法：構(gòu)造直角，找全等
① 過A作AD⊥x軸，垂足D(2,0)，得∠ADB=90°；
② 由AB⊥BC得∠ABC=90°，推∠BAD=∠CBE；
③ 過C作CE⊥x軸，垂足E，得∠CEB=90°；
④ 證△ADB≌△BEC：∠ADB=∠BEC=90°，∠BAD=∠CBE，AB=BC，全等！AD=BE（AD=3→BE=3），DB=CE，坐標(biāo)一算C點(diǎn)就出來。
易錯(cuò)點(diǎn)：別漏直角條件！坐標(biāo)系里畫圖得嚴(yán)格垂直，別把“垂直”畫成“斜的”，否則全等條件就沒了。

三、將軍飲馬模型：找對(duì)稱點(diǎn)，最短路徑“一鍵轉(zhuǎn)化”

怎么認(rèn)：題里有“最短”+“動(dòng)點(diǎn)在直線上”
看到“求點(diǎn)P在直線l上使PA+PB最短”，或“PA-PB最長”，都是將軍飲馬模型。
中考常考：三角形、四邊形里的最短路徑。比如矩形ABCD（AB=3，BC=4），E是AB上一點(diǎn)，求E到C、D距離和的最小值。
解決方法：找對(duì)稱點(diǎn)，連線段
① 找D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)（矩形對(duì)稱性下D的對(duì)稱點(diǎn)是A）；
② 連AC交AB于E，此時(shí)DE+EC=AE+EC=AC；
③ 算AC是矩形對(duì)角線，勾股定理得5，最小值就是5。
易錯(cuò)點(diǎn)：找對(duì)對(duì)稱點(diǎn)！動(dòng)點(diǎn)在BC上，就得找A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，找錯(cuò)直線，線段就不是最短的了。

四、中點(diǎn)模型：看到“中點(diǎn)”別慌，中位線和倍長中線來幫忙

怎么認(rèn)：抓“中點(diǎn)”或“中線”
一個(gè)中點(diǎn)（如△ABC中D是BC中點(diǎn)，中線AD），想證AB=AC或AD與某線段關(guān)系；兩個(gè)中點(diǎn)（如四邊形ABCD中E、F是AB、CD中點(diǎn)），想證EF與AD、BC的關(guān)系。
中考常考：證平行、線段相等或倍分。比如△ABC中D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，延長BE交AC于F，證AF=FC/2。
解決方法：看中點(diǎn)數(shù)量定方法

• 兩個(gè)中點(diǎn)→中位線：連E、F得中位線，EF∥AD且EF=AD/2；
• 一個(gè)中點(diǎn)→倍長中線：延長AD到G使DG=AD，連BG，證△ADC≌△GDB（SAS），把AB和AC的關(guān)系轉(zhuǎn)成AB和BG的關(guān)系。比如前面例子，延長AD到G，DG=AD，連BG，證△AEF≌△GEB，得AF=BG，再證BG=FC/2，就能得出AF=FC/2。
  易錯(cuò)點(diǎn)：倍長中線后必證全等！別直接說“BG=AC”，得先證△ADC≌△GDB，線段關(guān)系才有依據(jù)。

最后：記住這3個(gè)通用技巧，模型題再也不怕

先認(rèn)模型再解題：拿到幾何題，先看有沒有“公共頂點(diǎn)、直角、中點(diǎn)、最短”這些關(guān)鍵詞，對(duì)應(yīng)上面的模型；
用“模型口訣”記方法：手拉手“找共頂、標(biāo)等腰、證全等”，將軍飲馬“找對(duì)稱、連線段”，中點(diǎn)模型“一中點(diǎn)倍長、兩中點(diǎn)中位”；
從真題里練模型：每天找1道中考真題里的模型題，先標(biāo)模型名稱，再用對(duì)應(yīng)方法解，一周就能熟練。

其實(shí)幾何模型一點(diǎn)都不難，它們就是數(shù)學(xué)家總結(jié)好的“解題套路”。認(rèn)對(duì)模型，用對(duì)方法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來繞半天的幾何題，其實(shí)就是“換了件衣服的模型題”。下次再遇到幾何題，先別急著畫輔助線，先看看：“這題是不是手拉手？有沒有中點(diǎn)？”——思路很快就有了！