實驗導入：為什么投籃時籃球會走'弧線'？

想象你正在打籃球：當你把球投向籃筐，球的軌跡不是直線，而是一條優(yōu)美的弧線——這就是二次函數(shù)的圖像！

在數(shù)學世界里，這種'U'形曲線叫做拋物線，它的函數(shù)表達式是： y = ax2 + bx + c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）

為什么叫'二次'？因為x的最高次數(shù)是2次方！

實驗探究：a、b、c如何影響拋物線的'姿勢'？

實驗1：a值——拋物線的'開口方向'和'胖瘦'

• a>0：開口向上（像笑臉），有最低點
• a<0：開口向下（像哭臉），有最高點
• |a|越大：拋物線越'瘦'（開口越窄）
• |a|越小：拋物線越'胖'（開口越寬）

實驗2：c值——拋物線的'上下平移'

• c>0：拋物線向上平移c個單位
• c=0：拋物線經過原點
• c<0：拋物線向下平移|c|個單位

口訣：'c正上移，c負下移'

實驗3：b值——拋物線的'左右平移'

b值影響拋物線的對稱軸位置：

• 對稱軸公式：x = -b/(2a)
• b=0：對稱軸是y軸（x=0）
• ab>0：對稱軸在y軸左側（'同左'）
• ab<0：對稱軸在y軸右側（'異右'）

記憶口訣：'左同右異'（a和b符號相同，對稱軸在左側；符號不同，對稱軸在右側）

二次函數(shù)的'三要素'

1. 頂點坐標

拋物線的'制高點'或'最低谷'，坐標為：(-b/(2a), (4ac-b2)/(4a))

• 當a>0時，頂點是最低點，函數(shù)有最小值
• 當a<0時，頂點是最高點，函數(shù)有最大值

2. 對稱軸

垂直于x軸的直線：x = -b/(2a) 性質：拋物線上任意一點關于對稱軸對稱的點，縱坐標相等

3. 與坐標軸的交點

• 與y軸交點：(0, c)（代入x=0）
• 與x軸交點：解方程ax2 + bx + c = 0，判別式Δ = b2 - 4ac
• Δ>0：兩個不同交點（與x軸相交）
• Δ=0：一個交點（與x軸相切）
• Δ<0：無交點（與x軸相離）

三大解題法寶

法寶1：待定系數(shù)法求解析式

根據(jù)已知條件設不同形式：

示例：已知拋物線頂點為(1, 2)，且過點(2, 3) 設y = a(x-1)2 + 2，代入(2,3)得3 = a(1)2 + 2 → a=1 ∴ 解析式：y = (x-1)2 + 2 = x2 - 2x + 3

法寶2：最值問題解法

求二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的最值：

0. 求對稱軸x = -b/(2a)
1. 判斷a的正負（a>0有最小值，a<0有最大值）
2. 代入x = -b/(2a)，求出y值

生活應用：利潤最大化、面積最大化、路徑最短等問題

法寶3：圖像變換法

拋物線y = ax2通過變換得到y(tǒng) = a(x-h)2 + k：

• 向右平移h個單位（h>0）
• 向左平移|h|個單位（h<0）
• 向上平移k個單位（k>0）
• 向下平移|k|個單位（k<0）

生活中的二次函數(shù)：從投籃到利潤

案例1：投籃拋物線

籃球出手后，高度h(米)與時間t(秒)的關系：h = -4.9t2 + 10t + 2

• 何時達到最高點？t = -b/(2a) = -10/(2×(-4.9)) ≈ 1.02秒
• 最大高度是多少？h = (4ac-b2)/(4a) ≈ (4×(-4.9)×2 - 102)/(4×(-4.9)) ≈ 7.1米

案例2：最大利潤問題

某商品每件成本20元，售價x元時，每天銷量為(100-x)件 利潤y = (x-20)(100-x) = -x2 + 120x - 2000 當x = -b/(2a) = 60元時，最大利潤y = 1600元

? 中考'陷阱'大盤點

易錯點1：頂點坐標符號錯誤

錯誤：把頂點橫坐標寫成b/(2a) 正確：x = -b/(2a)（注意負號！）

易錯點2：忽視自變量取值范圍

錯誤：求最大面積時，不考慮實際問題中x的取值范圍 正確：先求對稱軸，若在取值范圍內，頂點是最值點；否則，端點是最值點

易錯點3：a、b、c符號判斷錯誤

錯誤：只看圖像開口方向判斷a，忽略b的符號 正確：結合開口方向(a)和對稱軸位置判斷b（左同右異）

中考真題精講

2025年中考題： 已知二次函數(shù)y = x2 - 2x - 3 (1) 求拋物線的頂點坐標和對稱軸； (2) 求拋物線與x軸的交點坐標； (3) 當x為何值時，y隨x的增大而減??？

參考答案： (1) a=1, b=-2, c=-3 頂點橫坐標x = -b/(2a) = 1 頂點縱坐標y = 12 - 2×1 - 3 = -4 ∴頂點(1, -4)，對稱軸x=1

(2) 令y=0，x2 - 2x - 3 = 0 解得x?=-1, x?=3 ∴交點坐標(-1,0)和(3,0)

(3) ∵a=1>0，拋物線開口向上 ∴當x<1時，y隨x的增大而減小