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與“整式的加減”相關(guān)的三類綜合題

 妍小青 2025-09-07 發(fā)布于上海




概述



“整式的加減”章節(jié)主要涵蓋以下知識(shí)點(diǎn):單項(xiàng)式及其相關(guān)概念(單項(xiàng)式的次數(shù)、單項(xiàng)式的系數(shù)、同類項(xiàng))、整式的概念、合并同類項(xiàng)(定義、方法、整式的項(xiàng)、整式的次數(shù)、將一個(gè)整式按一個(gè)字母進(jìn)行升冪或降冪排列)、整式的加減運(yùn)算。

在學(xué)習(xí)時(shí),運(yùn)用類比的方法,將“有理數(shù)”和“一次式”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷遷移到“整式”的運(yùn)算中,將“數(shù)”的運(yùn)算拓寬到“式”的運(yùn)算,感受數(shù)式通性。







類型1:與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相關(guān)的綜合題



與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相關(guān)的綜合題,解題關(guān)鍵在用含t的代數(shù)式表示距離。同時(shí)注意對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程,若不確定哪個(gè)點(diǎn)較大,則距離要加絕對(duì)值;如果能判斷兩個(gè)點(diǎn)的大小,那么距離=“右側(cè)的點(diǎn)-左側(cè)的點(diǎn)”。
解法分析:本題是整式的加減運(yùn)算和數(shù)軸、絕對(duì)值、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的綜合問題。
本題的第(1)問根據(jù)絕對(duì)值的意義,列出三個(gè)方程,從而求出a、b、c的值。
本題的第(2)問和第(3)問涉及到了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程,需要注意是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向,可以用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)的距離,進(jìn)而表示出運(yùn)動(dòng)后的甲、乙、丙的位置。值得注意的是第(2)問限定了t的取值范圍,因此可以去掉絕對(duì)值符號(hào);而第(3)問由于未確定t的范圍,因此需要帶著絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)而求解。




類型2:與圖形周長面積相關(guān)的綜合題



圖形周長和面積相關(guān)的綜合題的解題關(guān)鍵在于“用字母表示未知邊的邊長”,列出相應(yīng)的式子進(jìn)而根據(jù)題意解決問題。
解法分析:本題的解題關(guān)鍵在于用字母a表示出較長直角邊的邊長和大正方形的面積,進(jìn)而利用割補(bǔ)法求解兩個(gè)正方形的面積,通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)正方形的面積差是一個(gè)定值。
解法分析:本題的解題關(guān)鍵在于用字母表示正方形①、②、③的邊長、以及小長方形的長和寬;將另一個(gè)不規(guī)則陰影部分的圖形通過平移線段轉(zhuǎn)化成長方形。進(jìn)而用字母表示出兩個(gè)陰影部分的周長。
解法分析:本題的解題關(guān)鍵在于用含a、b、AD的式子表示出兩個(gè)長方形的面積。將a和b標(biāo)注在圖上,然后可以求出兩個(gè)長方形的邊長。由于最終的代數(shù)式的值與AD的長度無關(guān),因此通過合并同類項(xiàng)后,含AD的項(xiàng)的系數(shù)為0,即可求得a、b滿足的關(guān)系式。




類型3:與新定義相關(guān)的綜合題



對(duì)于新定義問題,解題的關(guān)鍵在于讀懂定義,根據(jù)定義解決問題。同時(shí)看懂定義下舉的例子,便于問題解決。
解法分析:本題的解題關(guān)鍵在于讀懂定義。第(1)問代入定義中,實(shí)際就是求m的值。本題的第(2)問需要讀懂新的運(yùn)算律。第①問其實(shí)是定義的兩種逆運(yùn)算;第②問中需要將所求拆成D(3)和D(5)的和或差。特別的對(duì)于D(20)需拆成2D(2)+D(5),而D(2)在第(1)問中已經(jīng)求了,代入即可。
解法分析:本題的解題關(guān)鍵在于讀懂定義。第(1)問根據(jù)定義判斷“同類整式”;第(2)同樣運(yùn)用定義,結(jié)合同類項(xiàng)的意義,通過合并同類項(xiàng),求出m和n的值;本題的第(3)問的難點(diǎn)在于①根據(jù)方程是一元一次方程,則二次項(xiàng)系數(shù)為0;②方程有正整數(shù)解和a為整數(shù)需要結(jié)合因數(shù)的意義求解;③D和E是“同類整式”則a和k不等于0

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