一、模型構(gòu)成及解題思路

1、模型構(gòu)成：雙動(dòng)點(diǎn)、等線段（首尾不相連）

如圖，紅色線段AD和BE是逆等線，AD=BE，逆等線上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求藍(lán)色動(dòng)線段AE和CD之和的最小值.

2、解題思路：利用逆等線構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)動(dòng)線段的轉(zhuǎn)移，將兩條動(dòng)線段的動(dòng)點(diǎn)結(jié)合在一起，轉(zhuǎn)化為折線段最短問題，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短確定動(dòng)點(diǎn)位置.

二、應(yīng)用舉例

例1、如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=8，AB=10，點(diǎn)D、E分別是AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=BE，則AE+CD的最小值為_______.

解答：如圖，作∠DAF=∠ABE，且AF=AB，連接DF

易證△FAD≌△ABE(SAS)?DF=AE

∴AE+CD=DF+CD

由兩點(diǎn)之間線段最短，知

當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CD有最小值

連接CF，過點(diǎn)C作CG⊥FA，交FA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

由勾股定理，可得 CF=2√61

∴AE+CD的最小值為2√61

例2、如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)E、F是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF，連接CE、CF，則CE+CF的最小值為________

解答：如圖，以BF為邊構(gòu)造△DBF≌△CAE?DF=CE

CE+CF=DF+CF，最小值為CD=10.

三、拓展-加權(quán)逆等線

例3、如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E、F分別是CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=2BF，則2DF+AE的最小值為________.

分析與解答：

本例與前兩例有所不同，DE和BF不再相等，而是成倍數(shù)關(guān)系，這種問題可看作加權(quán)逆等線，它的特征是：雙動(dòng)點(diǎn)，倍線段（首尾不相連）.

解題思路和逆等線類似，只需把構(gòu)造全等三角形改為構(gòu)造相似三角形.

如圖，作△GBF∽△ADE，相似比為1：2

∴GF=1/2AE，2DF+AE=2(DF+1/2AE)=2(DF+GF)

當(dāng)點(diǎn)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，DF+GF最小，最小值為DG

由勾股定理，得 DG=√13

∴2DF+AE的最小值為2√13

四、小結(jié)

1、逆等線模型體現(xiàn)了全等三角形的等線段轉(zhuǎn)化功能，全等除了用于證邊相等、角相等外，還可用于等線段轉(zhuǎn)化與等角轉(zhuǎn)化.

2、構(gòu)造全等三角形的方法并不唯一，只要是含逆等線的全等三角形，定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)互相對(duì)應(yīng)都可以，比如例1也可以在AB下方構(gòu)造全等三角形，就轉(zhuǎn)化為了將軍飲馬模型（C、F是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D在線段AB上）

例2也可以：

所以說，逆等線模型的關(guān)鍵是等線段轉(zhuǎn)化、動(dòng)點(diǎn)合并，而實(shí)現(xiàn)這一目的所用的手段就是構(gòu)造全等三角形.

3、加權(quán)逆等線就是逆等線的靈活應(yīng)用，由全等三角形聯(lián)想到相似三角形.