作者：廖海仁

大學(xué)與研究生階段

我大學(xué)第一志愿報的是應(yīng)用物理，第二志愿是應(yīng)用數(shù)學(xué)。因為我覺得自己最喜歡的還是物理，其次是數(shù)學(xué)。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)按部就班，我們作為物理系學(xué)生其實也沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，也是高等數(shù)學(xué)。教我們高等數(shù)學(xué)的老師是編寫清華《高等數(shù)學(xué)》教材的施學(xué)瑜教授。這大概也是物理系所能得到的數(shù)學(xué)上的優(yōu)待了吧。

當(dāng)時我們已經(jīng)知道有北京大學(xué)張筑生教授編的三冊版《數(shù)學(xué)分析新講》，有的同學(xué)應(yīng)該拿這套書做參考。不過，對我最有影響的還不是這個，而是R.柯朗的《數(shù)學(xué)是什么》和《微積分和數(shù)學(xué)分析教程》(這兩本書的第二作者分別是H.羅賓和F.約翰)。當(dāng)然看這兩本書都是在正常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之外，也是在大三之后。

我先在圖書館里發(fā)現(xiàn)了《數(shù)學(xué)是什么》這本書，就興致勃勃地將其看完，也感覺到很受益。我對于極限概念的真正理解就是通過閱讀這本書得到的。

記得大二時我還跟從自動化系毅然轉(zhuǎn)到物理系的檀時鈉同學(xué)討論極限的概念。他說了一大通，我知道他是已經(jīng)懂了，但是我當(dāng)時還不懂。若談天賦，我覺得他在數(shù)學(xué)和物理上應(yīng)該屬于真有天賦者。據(jù)說我們班有好些同學(xué)自從他過來后決定不再學(xué)習(xí)物理，因為肯定學(xué)不過他。他后來獲得了美國物理斯隆獎，現(xiàn)在是北京大學(xué)物理學(xué)院的教授。

但我這種數(shù)學(xué)后知后覺者也通過持續(xù)的思考和閱讀《數(shù)學(xué)是什么》獲取到對數(shù)學(xué)“極限”概念一直追求的“理解”：核心是無窮大并不是一個實在確定的數(shù)，極限是一個滿足極限定義的過程。

然后我又找到了同一作者寫的《微積分與數(shù)學(xué)分析導(dǎo)論》。這是共有兩卷，每卷各有二分冊的數(shù)學(xué)教程。我從第一卷第一分冊開始看起，開始還是覺得有點(diǎn)難，但是其深刻性吸引著我。我也會一道道去做教程后面的習(xí)題，覺得很受益。

這后面的習(xí)題沒有一道是只套用公式就可以簡單解決的，每做完一道都會覺得有收獲。這套書比較吸引我的地方還在于作者強(qiáng)調(diào)“闡明數(shù)學(xué)分析與其各種應(yīng)用之間的相互作用，并強(qiáng)調(diào)感性認(rèn)識的意義”的基本態(tài)度。作者在《序言》中說：

“數(shù)學(xué)，作為一種自封的，一環(huán)接一環(huán)的真理系統(tǒng)，而不涉及其起因和目的，也是有其誘惑力的，并且還能滿足某種哲學(xué)上的需要。但是，這種在學(xué)科本身中做內(nèi)省的態(tài)度和方法，對于那些獲得獨(dú)立的智能而不是訓(xùn)條式的教導(dǎo)的學(xué)生們是不適宜的; 不顧及應(yīng)用和直觀，將導(dǎo)致數(shù)學(xué)的孤立和衰退，因此，使學(xué)生和教師們不受這種自我欣賞的純碎主義的影響，看來是非常重要的.”

我對于這種態(tài)度感到非常認(rèn)同。遺憾的是，我到臨畢業(yè)時也只是差不多看完了第一卷第一分冊。臨畢業(yè)時我發(fā)覺圖書館里有這套書習(xí)題解答的書，還將其中一些以及第一卷第二分冊的教材都復(fù)印了，希望工作以后能繼續(xù)看。

除了這兩本書外，我還看了一些數(shù)學(xué)科普及數(shù)學(xué)史的書，比如克萊因的《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》及《古今數(shù)學(xué)思想》等，也感覺很受益?！豆沤駭?shù)學(xué)思想》當(dāng)時沒有完全看完，但是后來學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時我會補(bǔ)看相關(guān)部分。這套書我認(rèn)為是目前為止我能找到的最好的數(shù)學(xué)史教材。遺憾的是，其中并不包含對于當(dāng)代科技影響很大的隨機(jī)數(shù)學(xué)（概率論與隨機(jī)過程）部分。

大學(xué)畢業(yè)后我先工作了三年，是后來考的研究生。前二年在一家電子公司做，其實也沒有再學(xué)數(shù)學(xué)，主要是學(xué)習(xí)工作相關(guān)的單片機(jī)編程等。到第三年準(zhǔn)備考研，我才真正接續(xù)了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)?？佳须m然是應(yīng)試的，但是我的目標(biāo)也很明確，要借這個契機(jī)按著數(shù)學(xué)分析的要求來重新學(xué)習(xí)一次高等數(shù)學(xué)。我主要使用的教材是華東師大的《數(shù)學(xué)分析》以及上面提到的《微積分和數(shù)學(xué)分析教程》，考研時，滿分100的數(shù)學(xué)我考了96，這個成績也算是為自己考取研究生立了汗馬功勞。

研究生時，我對于數(shù)學(xué)的興致越來越濃?！案舯趯W(xué)?！焙芏鄶?shù)學(xué)老師講課非常有意思，幾乎從所有的數(shù)學(xué)老師那里都能感受到他們對數(shù)學(xué)的濃厚興趣。

我旁聽了《微分幾何》《實變函數(shù)》《拓?fù)鋵W(xué)》等課程，基本是跟著數(shù)學(xué)系同學(xué)一起上課，以至于有個數(shù)學(xué)系的學(xué)生以為我是他們專業(yè)的。當(dāng)他得知我是空間物理專業(yè)的學(xué)生后吃了一驚。其實我學(xué)《微分幾何》是為了學(xué)習(xí)和理解《廣義相對論》的需要，其他更多是出于對數(shù)學(xué)本身的興趣。

不過還記得我在微分幾何課上當(dāng)我聽到老師說剛體運(yùn)動是一個數(shù)學(xué)上的平移旋轉(zhuǎn)變換群時的震撼。作為物理系的畢業(yè)生我自認(rèn)為理解什么是剛體運(yùn)動，直到此時我才覺得原來對于剛體運(yùn)動的理解還是很淺顯，只有換到這個視角才是真正理解了剛體運(yùn)動。拓?fù)鋵W(xué)課上老師講如何用兩個球體粘合成一個四維空間的講解也很有意思，非常符合我認(rèn)為自己花了很長時間才想通的宇宙形狀的直覺。

當(dāng)時我對概率論也有一定興趣。原因是我們研究生同學(xué)一起坐火車去上海開行業(yè)會議，有多個人玩殺人游戲，有位女同學(xué)連續(xù)兩次抓到的牌是殺手，成功地當(dāng)了兩次職業(yè)殺手。第三次大家重新玩，幾個人無辜被殺。大家又懷疑起她。她為自己辯護(hù)道，上兩次次我是殺手，這次我又是殺手的概率是很小的。而別人則說，每一次都是重新開始的，你當(dāng)兇手與我們可能是兇手的概率是相同的。

我好奇從概率論的角度，我這位女同學(xué)對自己的辯護(hù)是否有道理。我自己找了本概率教材來自學(xué)，也做了些筆記，但是并沒有完全學(xué)完。反而是對于線性代數(shù)，研一那個暑假，我找來北京大學(xué)的《高等代數(shù)》教材，并將其完整學(xué)習(xí)了一遍。

另外聽過的一些數(shù)學(xué)演講讓我記憶猶新：一次是聽文蘭院士的演講。他說他想將數(shù)學(xué)從微積分開始重新學(xué)習(xí)一遍。他當(dāng)時已經(jīng)是院士了，應(yīng)該也已經(jīng)有了很大的數(shù)學(xué)成果，但是為什么還希望從微積分開始重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？這種學(xué)習(xí)肯定屬于為己之學(xué)。這也幾乎成了我自己的數(shù)學(xué)愿望：我并不以數(shù)學(xué)為業(yè)，但是基于興趣，我也希望自己能將重要的數(shù)學(xué)課程逐漸學(xué)習(xí)一一遍。

另一次是聽陳省身先生的演講，當(dāng)時陳先生已經(jīng)92歲了，是坐著輪椅出來的，但是目光深睿。他講的如何從幾何角度看待DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)讓人很震撼。（這篇網(wǎng)絡(luò)文章大致記錄了類似的陳先生演講的內(nèi)容：https://www.163.com/dy/article/EPA2RUO20538057A.html） 

還有一件事讓我印象深刻。有一次去人大英語角，碰到一位讀力學(xué)的清華師弟，我們兩個人辯論了半天，原因他說物理比數(shù)學(xué)重要，我說數(shù)學(xué)比物理重要。我很能理解他對物理的熱情以及物理重要的認(rèn)知。但是若論總體重要性而言，我還是認(rèn)為數(shù)學(xué)更為重要一些，因為它是所有定量科學(xué)的基礎(chǔ)。我讀高中的時代，理科數(shù)理化分?jǐn)?shù)是相同的?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)被賦予更高的分?jǐn)?shù)，物理則總體分值更低些。我的一些繼續(xù)研究物理的同學(xué)還對此感到痛心疾首，他們認(rèn)為這對于后續(xù)的科學(xué)研究不利。然而，我則認(rèn)為將數(shù)學(xué)賦予更高權(quán)重是合理的，盡管物理學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的典范學(xué)科，其重要性不言而喻。

讀完空間物理研究生才想著轉(zhuǎn)行做互聯(lián)網(wǎng)的原因一言難盡。當(dāng)時閱讀的文獻(xiàn)中已經(jīng)出現(xiàn)了星際互聯(lián)網(wǎng)（Inter Planetary Network，IPN）的概念，就是不同國家的深空探測器都可以通過IPN傳輸數(shù)據(jù)。對IPN的接觸讓我意識到互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)是這個時代一件大事，自己或許應(yīng)該對這個新生事物有更多了解。另一方面，可能也是不希望自己的工作過于偏理論。

研究生時選了俞允強(qiáng)教授的《廣義相對論》和《物理宇宙學(xué)》課程。但是上課時發(fā)覺旁邊一起上課的可能有一半是校外的業(yè)余相對論研究者或物理學(xué)愛好者。我不想用”民科”一詞來形容這樣一個群體，因為這似乎代表了一種所謂科班出身者的傲慢與偏見。我經(jīng)常為這個群體中的人對于物理和數(shù)學(xué)的熱情而感慨（數(shù)學(xué)方面就是有一批相信自己已經(jīng)證明哥德巴赫猜想的人，但是卻是用初等數(shù)學(xué)的方法）。

他們大多相信自己已經(jīng)證明相對論或量子力學(xué)錯了，并且已經(jīng)創(chuàng)建了一套更好的理論。據(jù)說勸退這群人繼續(xù)研究物理的最好方法是告訴他們離開了數(shù)學(xué)語言，現(xiàn)代物理學(xué)難以為繼。但是事情往往也沒有那么簡單。我曾經(jīng)去過一個物理學(xué)“獨(dú)立研究者”家里并跟他聊了一晚上。他法律博士畢業(yè)，現(xiàn)在已經(jīng)辭職專門研究物理（前提是他北京家里的確有十套以上的房子作為經(jīng)濟(jì)支撐）。

他研究的物理理論中也的確有一些簡單的數(shù)學(xué)公式。不過我的確懷疑這些公式的來源與推導(dǎo)過程是否可靠。因為他曾經(jīng)問我1/(1+x)的數(shù)列展開為什么是1-x +x^2-x^3-x^4+x^5+…… 而不是1-x^2-x^3-x^4...另外，又說“如果物質(zhì)只會進(jìn)入黑洞，又不會出來的話，這豈不是說黑洞里的質(zhì)量不會守恒了？”

工作之后

再之后是南極中山站的一年。我當(dāng)時已經(jīng)確定轉(zhuǎn)行計算機(jī)，所以在中山站主要是以學(xué)習(xí)計算機(jī)相關(guān)內(nèi)容為主，數(shù)學(xué)上主要是學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，另外還帶了一本F. 哈拉里的《圖論》，也看了一部分。那時中山站也沒有互聯(lián)網(wǎng)，基本是與世隔絕的狀態(tài)。這是一本我2000年從舊書攤淘到的書，這本《圖論》從哥尼斯堡七橋問題講起，我只覺得講得很好。但是也不清楚作者的背景，回來后查了查互聯(lián)網(wǎng)，才知道作者是著名的圖論學(xué)者。計算機(jī)方面高德納（Knuth）的《計算機(jī)程序設(shè)計藝術(shù)》給了我很大的震撼，但在那里也只是學(xué)習(xí)了其中第一卷的部分內(nèi)容。

工作時我主要從事數(shù)據(jù)挖掘和機(jī)器學(xué)習(xí)算法工作。所以我后面的學(xué)習(xí)主要跟機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)。做機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘離不開數(shù)據(jù)分析，所以統(tǒng)計學(xué)可以說是最直接的基礎(chǔ)。所以數(shù)學(xué)方面我補(bǔ)充的主要是概率論和統(tǒng)計學(xué)的書，概率論主要是將汪仁官教授的《概率論引論》以及復(fù)旦大學(xué)李賢平教授的《概率論基礎(chǔ)》看完并做完了習(xí)題。

概率統(tǒng)計方面陳希孺院士的書對我的影響比較大，我?guī)缀踬I了他的所有著作: 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教程》《非參數(shù)統(tǒng)計》《高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》等。不要以為大佬的煉成是一日之功。我淘到過一本陳希孺先生1980年由重慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)印的《概率論及其應(yīng)用題解》，其中憑一己之力解答了費(fèi)勒兩卷本經(jīng)典概率論教材的所有習(xí)題，這也可見他在概率論方面用功之深。陳希孺先生的書籍也是國內(nèi)不多的在其中比較詳細(xì)介紹貝葉斯統(tǒng)計的教材。

他的《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史》也很有助于培養(yǎng)“統(tǒng)計思想”的統(tǒng)計學(xué)史著作。陳先生在本書《序》中說：“統(tǒng)計學(xué)不止是一種方法或技術(shù)，還含有世界觀的成分——它是看待世界上萬事萬物的一種方法，我們常講某事從統(tǒng)計觀點(diǎn)看如何如何，指的就是這個意思，但統(tǒng)計思想也有一個發(fā)展過程。因此，統(tǒng)計思想（或觀點(diǎn)）的養(yǎng)成，不單需要學(xué)習(xí)一些具體的知識，還要能夠從發(fā)展的眼光，把這些知識連綴成一個有機(jī)的、清晰地圖景，獲得一種歷史的厚重感。”學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計的歷史有助于我們更深入地理解概率的基本概念，并培養(yǎng)統(tǒng)計思想。

F.哈拉里的《圖論》及陳希孺先生的《概率論及其應(yīng)用題解》

關(guān)于做題，陳先生在《高等數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》（其中有一半是習(xí)題解答）一書的序中寫道：

“...多做習(xí)題，尤其是多做難題，對掌握并熟練數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基本的論證方法和技巧，有著不可替代的重要性。如果通過一門基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，只是記住了若干概念，背了幾個定理，而未能在這方面有所長進(jìn)，那真是'入寶山而空返’了，技巧的熟練固非一日之功，但取法乎上，僅得乎中，必須在開始學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課時就設(shè)定一個高目標(biāo)，日后進(jìn)入研究工作，克服難點(diǎn)的能力如何，相當(dāng)一部分就取決于在這方面修為的深淺了。同時，經(jīng)驗表明，在打基礎(chǔ)的階段因忽視習(xí)題而導(dǎo)致素質(zhì)上的缺陷，在日后不易彌補(bǔ)，或事倍功半。

筆者在學(xué)生時代及其后的幾年中，對做習(xí)題未給予足夠重視。當(dāng)時誤認(rèn)為做題費(fèi)時間，不增長新知識，不如多讀些書，站得實地。以后試做研究工作，就日漸感到其不良后果，表現(xiàn)到碰到問題辦法少，容易鉆死胡同，克服難點(diǎn)的能力弱，以致對自己缺乏信心。對許多方法，都似霧里看花，似曾識面，而不能切實掌握和靈活運(yùn)用。有如十八般兵器，樣樣都見過，但拿到手里，就使不動或很笨拙。欲以此克敵制勝，自難有成......

從'打基礎(chǔ)’，鍛煉技巧和提高能力諸目標(biāo)看，非做難題不行，這道理正如訓(xùn)練運(yùn)動員要加大運(yùn)動量，做高難動作，不然，在訓(xùn)練的過程中舒服了，就別指望出好成績。何況，對一個有志于在將來搞基礎(chǔ)研究的人，日后在研究工作中將碰到的難點(diǎn)，比起這些習(xí)題，又要高出若干個數(shù)量級。如果現(xiàn)在面對這些習(xí)題尚且有畏難情緒，那又怎能指望在日后研究工作中能具備克服更大困難的能力和信心?

...對讀者而言，筆者切望這部分（習(xí)題解答）是備而不用、備而少用。如碰到一個題一時做不出來，寧肯暫時擱一擱，也不要輕易翻看解答。譬如登山，經(jīng)過艱苦努力上了峰頂，只有其樂趣和成就感。反之，如在未盡全力之前就任人抬上去，則不惟無益，實足以挫折信心?！?/span>

陳先生在此處提到數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的學(xué)習(xí)方法對于學(xué)習(xí)所有數(shù)學(xué)都是適合的，其中主要提到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時做習(xí)題與做難題的重要性。做難題，對于數(shù)學(xué)研究者尤其重要，因為數(shù)學(xué)研究很多就是解決別人未解決的超級難題。而對于一般的數(shù)學(xué)應(yīng)用者，要求可以稍微降低。物理學(xué)家胡寧曾經(jīng)說做題不用做得太多，我想學(xué)習(xí)物理與數(shù)學(xué)在做題方面的要求會有所不同吧。物理學(xué)更偏于對于基本概念的理解。

此外對我產(chǎn)生深刻影響的是美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家E.T.杰恩斯的遺著《概率論沉思錄》。2009年8月，在海淀圖書城的九章書店，我看到了人民郵電出版社出的這本書的英文影印版?？戳艘幌虑把杂X得很吸引我，就買了下來。但是正如大多數(shù)我買的新書一樣，這本書在我的書架上沉寂了四五年，直到2015年左右我在品友做DSP算法優(yōu)化相關(guān)工作時，我才下定決心將其看完。

記得有將近兩年時間，幾乎每個周六上午，在焚香靜坐之后，我都會拿一上午的時間來看這本書?？吹倪^程中經(jīng)常感到非常喜悅。北宋程頤談到讀《論語》時說“有讀了全然無事者；有讀了后其中得一兩句喜者，有讀了之后好之者，有讀了后直不知手之舞之足之蹈之者”，在讀這本書時我的確好幾次體會到這種近乎手舞足蹈的感覺。

自己對一些問題有了一定的思考，卻又百思不得其解，卻忽然看到作者在某一章的開始對類似的問題進(jìn)行描述，宣稱要在這一章中對這一問題進(jìn)行討論和解決，這該讓人何等的興奮呢！可以說，閱讀這本書改變了我對于概率論、統(tǒng)計學(xué)、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能甚至整個世界的認(rèn)知。我讀這本書是由于興趣，但也可以說是工作實際應(yīng)用的需求。

若說學(xué)習(xí)了這種基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)對我做機(jī)器學(xué)習(xí)有什么實際影響，我想借用杰恩斯本人在書中的話“在能力與通用性方面，學(xué)會使用作為擴(kuò)展邏輯的概率論的科學(xué)家比僅掌握了一堆無關(guān)的特定工具的人具有更大的優(yōu)勢，隨著問題復(fù)雜性的增加，這種相對優(yōu)勢也會擴(kuò)大”。

很多人搞機(jī)器學(xué)習(xí)的人只是掌握一堆工具或算法包，碰到問題就嘗試套用工具包去解決，但是在遇到無法直接套用工具包的問題時就會感到不知所措。但是有了良好的概率論基礎(chǔ)，我們就可以原初地思考問題（這些問題很多是存在本身的不確定性），并直接嘗試應(yīng)用概率論原理來解決問題。

本來按照我的工作相關(guān)，最最核心的基礎(chǔ)課程是機(jī)器學(xué)習(xí)。但是概率論和統(tǒng)計學(xué)又是機(jī)器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。我本來計劃花一二年時間將機(jī)器學(xué)習(xí)的經(jīng)典三大本PRML/MLaPP/ESL通讀一遍并做完所有習(xí)題。但是看了杰恩斯的書之后，我還是覺得自己的概率論基礎(chǔ)仍然需要加深。所以當(dāng)我有難得的一年“休整”時間時，我?guī)缀鯇⑦@一年時間中科技相關(guān)的學(xué)習(xí)時間都投入到了深入學(xué)習(xí)概率論之中。

這一年中，我閱讀了Seldom Ross的《概率論基礎(chǔ)教程》，鐘開萊的《初等概率論》、格涅堅科的《概率論教程》（中文版是從孔夫子舊書網(wǎng)淘的人民教育出版社1956年的繁體版古舊老書，不過我也從Amazon找到并購買了該書的1998出版英文第6版也是最后一版）、迪米特里·伯特瑟卡斯、約翰·齊齊克利斯著的《概率導(dǎo)論》并幾乎做完了其中的所有習(xí)題。

另外也看了柯爾莫哥洛夫的概率數(shù)學(xué)公理化奠基之作《概率論基礎(chǔ)》。這是一本不到80頁的小薄書，但是抽象性很高，只能慢慢咀嚼，但是看完受益很大。費(fèi)勒的《概率論及其應(yīng)用》第一卷相對而言要難些，只看了第一卷的一部分，但是有些章節(jié)也是多次閱讀，而且每一次閱讀都有新的收獲。像類似這種經(jīng)典數(shù)學(xué)書籍，是不太可能閱讀一遍就完全理解。我知道，概率論也會是我將來一生持續(xù)的興趣和鉆研方向所在，將來會持續(xù)學(xué)習(xí)更高級的部分。

2019 年，由于知道我有購買英文原版書的習(xí)慣，在人民郵電出版社工作的朋友問我有沒有人工智能方面值得引進(jìn)的好書推薦。我主要向他推薦了Judea Pearl的三本關(guān)于因果推斷的書，另外問了他杰恩斯的這本《概率論沉思錄》是否有人翻譯。他問了出版社后說還沒有，因為這本書實在是太厚了，似乎沒有人愿意翻譯。于是，我主動請纓來翻譯這本書，出版社也給予了支持。

翻譯過程雖然辛苦，但也的確充滿了愉悅，因為這種經(jīng)典書籍幾乎每讀一遍都會有新的收獲。ChatGPT時代，翻譯本身一般會被認(rèn)為沒有太多價值。然而，我認(rèn)為我翻譯這本中文版《概率論沉思錄》的主要價值在譯后記部分：我根據(jù)自己的多年的理解以及閱讀多本其他概率論書籍的思考，撰寫了約20頁的譯后記，旨在為讀者提供本書的導(dǎo)讀與解析。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之思

這一部分我想談?wù)勛约簩τ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些思考。

首先是關(guān)于數(shù)學(xué)天賦?，F(xiàn)在經(jīng)常聽到的說法的是“在天賦面前，努力不值一提”，“天賦大于努力”，而且這些說法似乎深得人心，尤其是對于數(shù)學(xué)是如此。我卻認(rèn)為可以忘記“天賦”一詞。

我們不可否認(rèn)人與人之間天生的數(shù)感差異，但是這只是一種天生的優(yōu)勢和潛力，如果沒有后天持續(xù)的學(xué)習(xí)和努力，這種所謂的“天賦”將永遠(yuǎn)不會開花結(jié)果。過于強(qiáng)調(diào)天賦往往會給自己的不努力提供借口。

其實，關(guān)于這個問題，孔老夫子的話很值得我們思考。他曾說，“十室之邑，必有忠信如丘者焉，不如丘之好學(xué)也”。他又說“唯上知與下愚不移”。數(shù)學(xué)天才和數(shù)學(xué)極不開竅的人當(dāng)然都是存在的，但是卻跟我們普通人無關(guān)。而且，能得菲爾茨獎需要的數(shù)學(xué)天賦跟我們普通人學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)所需要的數(shù)學(xué)天賦也不相同。

至少在高考這個級別，談?wù)撎熨x都沒有太大意義。高考數(shù)學(xué)壓軸題的正確率一般也會是1%以上。我們肯定不會將百里挑一的人就認(rèn)為是天才。我們普通人還是要相信“人一能之，己百之；人十能之，己千之。果能此道矣，雖愚必明，雖柔必強(qiáng)”的《中庸》基本精神。

另一個可以給我們借鑒的例子是跟“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”這句名言有關(guān)的錢偉長先生。他高考國文和歷史滿分、數(shù)學(xué)15分、物理5分、化學(xué)5分。在現(xiàn)在看來錢先生肯定是要?dú)w為數(shù)學(xué)上的“下愚”之列了?？墒侨思覅s偏偏要走科學(xué)救國之路，轉(zhuǎn)學(xué)物理學(xué)。他自詡?cè)Ｗ钋趭^之人，每天5點(diǎn)去圖書館背書，沒想到這時候華羅庚先生已經(jīng)背完了。結(jié)果我們也看到了，老先生最終成為了一名卓有成就的物理學(xué)家。

可見，數(shù)學(xué)考15分也未必說明沒有數(shù)學(xué)天賦。老是認(rèn)為自己天賦或智商不如人很可能是畫地為牢。

相比于天賦，我認(rèn)為更為重要的，是持久的興趣與學(xué)習(xí)。培養(yǎng)興趣最有效的當(dāng)然是來自良師的引導(dǎo)和感染。但是現(xiàn)代信息社會，即使沒有碰到良師，也可以通過閱讀自己培養(yǎng)興趣的。

現(xiàn)在有很多好的數(shù)學(xué)科普與數(shù)學(xué)家傳記書籍都有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。比如哈代的《一位數(shù)學(xué)家的自白》，保羅·哈爾莫斯的《我要做數(shù)學(xué)家》等等。有了興趣，更重要的還是踏踏實實花時間努力學(xué)習(xí)?！盀槿瞬灰?，為學(xué)實難”，民國時期新儒家熊十力先生經(jīng)常對學(xué)生做這樣的感慨。我們很多人都可能認(rèn)為現(xiàn)代社會學(xué)習(xí)比原來容易了，其實未必。

現(xiàn)代社會的學(xué)習(xí)往往添加了很多功利的因素，高考之前的學(xué)習(xí)為了更高的高考分?jǐn)?shù)，大學(xué)學(xué)習(xí)為了更高的績點(diǎn)，工作之后學(xué)習(xí)為了更高的工資?；ヂ?lián)網(wǎng)社會我們獲取最優(yōu)秀書籍的成本低了許多，但是諸多信息的干擾和生活的壓力讓沉下心來讀書更為不易。要有持續(xù)學(xué)習(xí)的動力，有著良好的學(xué)習(xí)動機(jī)很重要。學(xué)習(xí)動機(jī)以學(xué)問本身的興致為上，以學(xué)以致用為中，以將學(xué)習(xí)作為功利性工具為下。有了興趣和正確的學(xué)習(xí)動機(jī)，每天花一定時間定時學(xué)習(xí)進(jìn)步，則可以體會“學(xué)而時習(xí)之不亦說乎”的境界。

關(guān)于數(shù)學(xué)之重要性。數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會的重要性不言而喻，因為數(shù)學(xué)是所有自然科學(xué)、社會科學(xué)甚至工程技術(shù)的基礎(chǔ)與工具。數(shù)學(xué)的重要性還體現(xiàn)在它對于人類思維的鍛煉上。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，實際上是一個不斷鍛煉邏輯思維、提高抽象能力的過程。

人工智能時代，我們面臨的一大問題是學(xué)校教育應(yīng)該教什么，學(xué)生應(yīng)該學(xué)什么？因為學(xué)生在學(xué)生時代學(xué)習(xí)的技能，在他開始找工作時已經(jīng)被人工智能代替了。我對這一問題的看法是：如果不知道學(xué)習(xí)什么的話，那么就多花時間學(xué)基礎(chǔ)課程：數(shù)學(xué)和人文。我大學(xué)時學(xué)習(xí)的Fortran語言，十年前學(xué)習(xí)的Perl、Pig語言，現(xiàn)在很少使用了，但是那時候?qū)W習(xí)的微積分和線性代數(shù)卻仍然在使用?！拔〝?shù)學(xué)不會辜負(fù)人”，我們需要有這種信念。

我體會到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有兩大特點(diǎn)。一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有捷徑，也不可能速成。比如我在知乎里就看到這樣的帖子“如何在1-3天內(nèi)自學(xué)概率論”。這也代表了國內(nèi)典型的浮躁之氣。我的回答是：“1-3天自學(xué)概率論只能將書當(dāng)小說一樣翻一遍，知道些名詞術(shù)語，但是真要懂什么，簡直就是癡人說夢”。

數(shù)學(xué)的進(jìn)步是緩慢的，無論是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)還是概率論，發(fā)展到現(xiàn)在的程度，花費(fèi)了多少人數(shù)百年的努力來構(gòu)建起來，憑什么你只需要一年半載就可以完全掌握呢？數(shù)學(xué)書也沒法像讀小說一樣一個小時一二十頁。經(jīng)典的書，很多時候一個小時能看完并很好理解一頁就已經(jīng)很不錯了。

半年學(xué)通Python是沒問題的，但是一個人要是說他半年就可以從零基礎(chǔ)完全掌握數(shù)學(xué)分析或者概率論，我卻不相信。正因為數(shù)學(xué)沒法速成，所以一個人經(jīng)過長期積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才可以成為其硬資產(chǎn)。

二是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要循序漸進(jìn)。這可能是數(shù)學(xué)跟人文學(xué)科的主要區(qū)別之一。傳統(tǒng)文化讀四書五經(jīng)，雖然也有建議的閱讀順序，但是沒有人說一定只能先讀《論語》才能讀《孟子》。但是數(shù)學(xué)卻不太相同：很多課程都有先修課程，如何先修課程沒有掌握，其實很難掌握這門課程。

比如概率論在隨機(jī)變量函數(shù)的分布需要用到多重微積分的內(nèi)容，討論多元正態(tài)分布是需要用到矩陣符號，所以微積分和線性代數(shù)是概率論的先修課程。這些都是需要循序漸進(jìn)學(xué)習(xí)的。坊間有言“實變函數(shù)學(xué)十遍，隨機(jī)過程隨機(jī)過”。如果有人真的感覺學(xué)習(xí)實變函數(shù)、隨機(jī)過程特別難，很可能是這些課程的先修課程微積分、高等代數(shù)和概率論沒有學(xué)好。

為什么學(xué)過后會沒有學(xué)好呢？我的總結(jié)是學(xué)習(xí)深度不夠。我有一個觀點(diǎn)，就是所以對于基于數(shù)學(xué)的科學(xué)技術(shù)相關(guān)任一專業(yè)有所追求者，都值得將大學(xué)層次的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課（微積分、線性代數(shù)、概率論等）自己研讀再學(xué)習(xí)一遍（除了那些本身就在頂級大學(xué)數(shù)學(xué)系，整日沉浸在數(shù)學(xué)之中，且已經(jīng)學(xué)得很深很好的人外），并且最好學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)系的難度。

有人可能會說，我大學(xué)相應(yīng)課程考試都考了90分以上，還需要再學(xué)習(xí)一遍嗎？我的回答是需要。一是大學(xué)課程學(xué)習(xí)基本是以考試為目的，時間也比較倉促，考試級別的考分高低跟自己是否真正理解其實是不太相關(guān)的。

二來大學(xué)所用的教材一般是學(xué)校老師自編的教材，跟國際上的數(shù)學(xué)名著和最好的教材一般還是很差距的。能輕易得到世界一流的經(jīng)典名著，包括其中文版，這是我們這個時代的學(xué)習(xí)者最重要的優(yōu)勢之一。盡量研讀世界級的名著，而不要在二流教材上浪費(fèi)太多精力，這與是否尊師重教或是否愛國無關(guān)。

需要學(xué)到數(shù)學(xué)系的難度一是由于這幾門課最為基礎(chǔ)，對于后續(xù)專業(yè)的發(fā)展很重要。若學(xué)得太淺，相當(dāng)于蓋樓地基打得不深，將來只能蓋小洋樓，而不能蓋高樓大廈。二是由于這幾門課程其實也沒有那么抽象，一般人是可以按照數(shù)學(xué)系的要求學(xué)習(xí)掌握的。

但即使是世界名著，每門基礎(chǔ)課程甚至都可能找到很多本。那么該如何選擇，選多少本呢？我的觀點(diǎn)是可以先選擇兩本內(nèi)容組織方式差別較大，能形成一定相互補(bǔ)充作用的兩本。一本作為主要教材，另一本作為主要參考。這樣的好處一是多維度理解：不同作者對于同一數(shù)學(xué)概念或原理的闡述可能會有所不同。這種差異能夠幫助我們從多個角度、多個維度去理解數(shù)學(xué)知識，從而加深理解。

二是補(bǔ)充成全：兩本書的內(nèi)容組織方式差別較大，意味著它們可能在某些方面各有側(cè)重。一本可能更注重理論推導(dǎo)，而另一本可能更注重實際應(yīng)用或習(xí)題解答。這樣的組合能夠為學(xué)生提供更全面的學(xué)習(xí)體驗，確保學(xué)習(xí)的深度和廣度。一門課程有了兩本經(jīng)典教材作為基礎(chǔ)，再看其他就會比較快了，因為只看前面兩本沒有涉及的部分就夠了。如果是比研讀教材更低級別的教材，的確也是可以向看小說一樣快速看完的。

最后是關(guān)于做題，前面陳希孺先生的引用已經(jīng)說的很清楚了。不做題談不上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。自學(xué)數(shù)學(xué)的話盡量要選擇有習(xí)題答案的教材。盡管習(xí)題當(dāng)然要先做再對答案，但若完全沒有答案，可能很難驗證自己的學(xué)習(xí)成果。

學(xué)習(xí)貴在有恒，如果能每天抽出1小時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且每天至少做1道習(xí)題。長久堅持下來，必有收獲。心中常有幾道數(shù)學(xué)題可思考，也是一件很幸福的事情：無論坐地鐵還是坐車都可以用來思考，而不用一有空就抱著手機(jī)看了。

微積分、線性代數(shù)與概率論教材推薦

終于到了真正書籍推薦的部分。不過在正式推薦之前，我還是想引用L.戈丁《數(shù)學(xué)概觀》中關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一則寓言：

三種辦法：

老師對他班上的同學(xué)說，我要給你們講解正比例的概念。這個概念在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、社會科學(xué)和日常生活中，都有用處。它考慮兩個變量x和y，其中y依賴于x，其定義（他轉(zhuǎn)過身去面向黑板，開始寫）：

y稱為與x成比例，如果存在一個數(shù)a，使得對于x的

每個值以及y的對應(yīng)值，都有y=ax。

于是他轉(zhuǎn)過身來看看全班。只有一二個人懂了。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。例如，假如我們令a=2（他又轉(zhuǎn)過身面向黑板，并寫下）

           對于所有x， y=2x

他又轉(zhuǎn)過身來，看著全班同學(xué)?，F(xiàn)在幾乎每個人都懂了。但是還有兩張發(fā)呆的臉。老師再試著講解。好了，你們看，我剛才寫的是什么意思。比如說，我們令x=3， 那么y=6（他在黑板上寫）

              6=2x3

他轉(zhuǎn)過身來看著全班同學(xué)。這回人人都明白了。

引用這一寓言的目的是為了說明數(shù)學(xué)教學(xué)或者數(shù)學(xué)教材大致有三種抽象層次：一是極其抽象，只適用于極少數(shù)學(xué)生（基本可以說是給其他未來的數(shù)學(xué)家看的），我將其定義為3.0層次；二是有一定抽象，但是有一定直觀基礎(chǔ)，適合于大多數(shù)學(xué)生，我將其定義為2.0層次；三是將其完全具體化，基本沒有什么抽象，基本所有學(xué)生都能懂，我將其定義為1.0層次。

我對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建議是在看一本1.0層次的教材后，盡量選擇一二本2.0層次的教材進(jìn)行研讀，這樣既有一定的抽象性，又不至于感到太難?？赐?.0層次的書后其實3.0層次的書籍也是可以理解的，至少不會被人用一些抽象數(shù)學(xué)符號將你嚇唬住。

我在下面推薦書籍時盡量在后面標(biāo)識一個1.0至3.0之間主觀數(shù)字級別標(biāo)識難度，供讀者參考。

3.1 微積分與數(shù)學(xué)分析

小平邦彥.《微積分入門》. 人民郵電出版社(1.8)

小平邦彥是日本數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎和沃爾夫獎得主，本書是作者晚年創(chuàng)作的經(jīng)典微積分著作，其特點(diǎn)在于突出“嚴(yán)密”與“直觀”的結(jié)合，并重視數(shù)學(xué)中的“和諧”與“美感”。

R.柯朗，F(xiàn).約翰. 《微積分和數(shù)學(xué)分析引論》. 科學(xué)出版社（2.0）

共兩卷四分冊。如果是物理方向的學(xué)生，這套微積分與數(shù)學(xué)分析教材是我最為推薦的一套，因為諸如第四章“在物理和幾何中的應(yīng)用”這樣的章節(jié)在其他教科書中是很少出現(xiàn)的。本書特別強(qiáng)調(diào)概念的直觀與明晰，在涉及到理解的細(xì)微之處絕不含糊，卻不重?zé)o關(guān)大體的完備。本書采取研討式而不是中國教科書演繹式的介紹方式。

G.H. Hardy.《純數(shù)學(xué)教程》 人民郵電出版社（2.5）

百年經(jīng)典，20世紀(jì)初數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的奠基性著作。雖然作者哈代于1947年已經(jīng)去世，但是這本書到現(xiàn)在也完全不過時，這就是數(shù)學(xué)的魅力。

陶哲軒. 《陶哲軒實分析》. 人民郵電出版社 (2.5) 

《陶哲軒實分析》是一本強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格性和基礎(chǔ)性的實分析教材，其內(nèi)容涵蓋了從數(shù)系的結(jié)構(gòu)和集合論到Lebesgue積分的全面知識。書中的習(xí)題與正文內(nèi)容緊密相關(guān)，有助于讀者更好地理解和掌握知識。適合于學(xué)過基礎(chǔ)微積分的人進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)實分析。

以上是四本教材，以下這本是推薦必看的重要參考書：

辛欽著，齊友民譯.《數(shù)學(xué)分析八講》.人民郵電出版社（2.0）

  辛欽是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，是現(xiàn)代概率論的奠基人之一。本書通過八個小講座分別講解連續(xù)統(tǒng)、極限、函數(shù)、級數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、函數(shù)的級數(shù)展開和微分方程等八個方面，能加深我們對這些基本概念的理解。

以下這兩本是微積分歷史科普書，可以幫助理解基本概念：

William Dunham著.李伯友等譯.《微積分的歷程——從牛頓到勒貝格》.人民郵電出版社 （1.0）

卡爾.B.波耶著，唐生譯.《微積分概念發(fā)展史》. 復(fù)旦大學(xué)出版社 （1.0）

3.2 線性代數(shù)

David C. Lay. 《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（Linear Algebra and Its Applications）（1.0）

David Lay的著作以易懂著稱，比較適合初學(xué)者. 此書有英文影印版和中文版。每章有習(xí)題且有部分習(xí)題答案。

Gilbert Strang《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（Linear Algebra and Its Applications） (1.0)

這本書由MIT的著名教授Gilbert Strang撰寫，以清晰的邏輯和豐富的應(yīng)用實例著稱。其實若是單獨(dú)作為教材我是不太推薦的，最有價值的是網(wǎng)上能找到Gilbert Strang的講課視頻，這是非常難得的學(xué)習(xí)材料，可以結(jié)合教材使用。

Sheldom Asler《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)(第3版)》.人民郵電出版社.（2.0）

公認(rèn)的闡述線性代數(shù)的經(jīng)典佳作，被全球40多個國家、300余所高校采納為教材。拋棄晦澀難懂的行列式，從向量空間和線性映射出發(fā)描述線性算子。包含習(xí)題和大量示例，提高學(xué)生理解和熟練運(yùn)用線性代數(shù)知識的能力。

齋藤正彥.《線性代數(shù)入門》.人民郵電出版社（2.0）

  日本長銷的線性代數(shù)入門名著，書后有習(xí)題答案，適合自學(xué)。本書去年才由圖靈翻譯出版，值得關(guān)注。

Peter D. Lax. 《線性代數(shù)及其應(yīng)用》. 人民郵電出版社. (2.8)

   這本書跟D.C. Lay的書是同樣書名，但是難度其實不是一個級別，適合作為高等線性代數(shù)教材使用。作者是Peter D. Lax教授是阿貝爾獎和沃爾夫獎得主。每章都有習(xí)題，并提供解答。

3.3 概率論

鐘開萊 《初等概率論（第4版）》（Elementary Probability Theory）.世界圖書出版社 （1.0）

鐘開萊（1917～2009）是著名華裔數(shù)學(xué)家、概率學(xué)家，被譽(yù)為美國”概率教父”。

《初等概率論》是一部介紹概率論及其應(yīng)用的入門教程。第4版特別增加了兩章講述應(yīng)用和數(shù)學(xué)金融，傳承前面版本詳細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)格，講述了有價證券和期貨理論的基本知識。但是作為非金融數(shù)學(xué)方向的讀者可以略去。本書第8章（From Random Walk to Markov Chains）是筆者讀到的講馬爾科夫鏈最清晰明了的教材。每章有習(xí)題且配有答案。遺憾的是本書原來好像有中文版，現(xiàn)在卻不容易找到。值得說明的是，作者還有一本基于測度論的《概率論教程》，難度為2.0，不適合作為概率論入門教材。

Sheldom Ross（羅斯） 《概率論基礎(chǔ)教程》(A First Course in Probability) （1.5）

本書是全球高校采用率最高的概率論教材之一，初版于1976年，多年來不斷重印修訂，最新好像已經(jīng)到第九版。本書敘述清晰，例子豐富，有助于學(xué)生建立概率直覺。每章都有習(xí)題和理論練習(xí)，可能顯得有些多，有些也會有點(diǎn)簡單重復(fù)，但是若能堅持做完也會很有收益。書后有部分習(xí)題答案，網(wǎng)上能找到全部習(xí)題解答，適于自學(xué)。

Dimitri P. Bertsekas等著. 《概率導(dǎo)論（第2版修訂版）》 人民郵電出版社（1.5）

本書基于麻省理工學(xué)院開設(shè)的概率論入門課程編寫，內(nèi)容全面，例題和習(xí)題豐富。習(xí)題有答案，適于自學(xué)。本書的特點(diǎn)是從一開始就同時介紹概率的貝葉斯和頻率這種視角，并且有兩章分別介紹頻率派統(tǒng)計與貝葉斯統(tǒng)計。一章介紹馬爾科夫鏈，一章介紹伯努利過程和泊松過程（相對一般概率論書籍獨(dú)特的一章）。國內(nèi)讀者可能感到稍微不適的地方是本書并沒有單獨(dú)一章介紹期望與方差，而是融合在隨機(jī)變量章節(jié)中進(jìn)行介紹。

以上教材建議3選2， 建議將鐘開萊教授的那本作為必選，然后另選一本。

William Feller（威廉·費(fèi)勒）《概率論及其應(yīng)用》.人民郵電出版社（2.5）

  本書分1/2兩卷，第1卷為普通概率論內(nèi)容，第2卷為高級部分。本書本書是十分經(jīng)典的概率論教材，曾經(jīng)影響了包括中國在內(nèi)的世界各國幾代概率論及其相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)生和研究者。配有豐富的例子和大量的習(xí)題，涉及多個領(lǐng)域的應(yīng)用，極具啟發(fā)性。陳希孺先生編有所有習(xí)題的詳細(xì)習(xí)題解答。本書是數(shù)學(xué)概率論的集大成之作。

E.T. Jaynes (杰恩斯)《概率論沉思錄》. 人民郵電出版社 （2.5）

對于是否推薦這本書，我其實曾有一定猶豫，主要是自己翻譯了這本書。后來覺得本著舉賢不避親的精神，還是應(yīng)該將其列出來。資深計算機(jī)技術(shù)和概率統(tǒng)計專家凱文·范霍恩(K. S. Van Horn)認(rèn)為本書是 20 世紀(jì)最重要的概率論著作之一?？峙聦⒈緯醋鲑M(fèi)勒《概率論及其應(yīng)用》之后的最重要概率論著作也不為過。本書以與費(fèi)勒的書不同，采用科學(xué)和邏輯的視角，將概率論視為布爾邏輯的擴(kuò)展與科學(xué)的邏輯。本書也是客觀貝葉斯主義概率論的代表著作。

Kolmogorov.《概率論基礎(chǔ)》(Foundations of Probability Theory) (3.0)

這本書的中文版叫《概率論基本概念》，已經(jīng)很難找到。反而是英文版Foundations of Probability Theory比較容易找到。本書就是作者將概率論變成一門數(shù)學(xué)的奠基之作。這本書很薄，讀者可以通過這本書體會什么是3.0級別的數(shù)學(xué)書籍。

作者簡介：

廖海仁,本科畢業(yè)于清華大學(xué)物理系,北京大學(xué)空間物理學(xué)碩士。中國第22次南極科學(xué)考察隊員,曾在南極中山站越冬14個月，是中澳日合作高空大氣物理觀測項目執(zhí)行人。 擁有16年以上數(shù)據(jù)挖掘與機(jī)器學(xué)習(xí)算法一線研發(fā)實際經(jīng)驗。長期 BI、推薦系統(tǒng)、計算廣告系統(tǒng)開發(fā)與優(yōu)化經(jīng)驗，尤其精通程序化廣告優(yōu)化相關(guān)算法。2013年全球RTB廣告DSP算法大賽主要組織者之一，后整理公布全球范圍內(nèi)第一個RTB廣告數(shù)據(jù)集。曾主導(dǎo)了四家以上互聯(lián)網(wǎng)公司算法從0到1的過程。曾任風(fēng)行網(wǎng)數(shù)據(jù)挖掘部負(fù)責(zé)人、品友互動算法架構(gòu)師、Keep人工智能中心算法架構(gòu)師等。圖靈數(shù)學(xué)經(jīng)典《概率論沉思錄》中文譯者。