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微積分初步——根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義 推導(dǎo)常見函數(shù)的求導(dǎo)公式（一起傾聽莫扎特：降E大調(diào)第一交響曲，作品編號kv16）

 東秋元圖書館 2024-02-16 發(fā)布于河北
導(dǎo)數(shù)，在高中數(shù)學(xué)的使用，終其所有，無非就是在來回折騰它的幾何意義
1、求導(dǎo)然后求切線方程
2、求導(dǎo)判斷區(qū)間單調(diào)性
3、求二階導(dǎo)判斷曲線的凹凸
現(xiàn)在的問題是，如何求導(dǎo)？
既然導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限值，那么求導(dǎo)也就是求極限。
我們先從最簡單的開始：
1如果函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則它的切線就是一條平行于x軸的直線，斜率值為0，也就是：
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如果是一次函數(shù)，也就是
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它的導(dǎo)函數(shù)其實(shí)就是它的切線函數(shù)，而直線的切線就是它自身，所以導(dǎo)函數(shù)值也就是這條直線的斜率值。
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結(jié)論：
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2、   如果是一個(gè)二次函數(shù)，求導(dǎo)方式還是一樣：
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3、如果面對的是自變量的n次方呢？
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上式轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠖囗?xiàng)式的極限，此時(shí)，首項(xiàng)決定一切，所以：
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結(jié)論：
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4、如果碰到的是正弦函數(shù)，那么
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所以上式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/span>
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此時(shí)，我們可以看到上式中，有一個(gè)重要的極限值：
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這是一個(gè)可能被反復(fù)拿來使用的極限值，它可以借助直角三角形，并使用夾逼定理求雙側(cè)極限來完成證明。
不過，具體的證明過程，包括另外幾個(gè)重要的極限，比如自然常數(shù)e，我們會在后續(xù)的短文中一一詳細(xì)介紹，在這里出于短文連續(xù)性的考慮，直接拿來使用。
因此：
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結(jié)論：
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那么，如果
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結(jié)論：
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5、如果我們面前是一個(gè)對數(shù)函數(shù)：
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根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們繼續(xù)求變化率的極限值
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到了這里又出現(xiàn)一個(gè)以后會被反復(fù)使用的極其重要的極限：
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我們稱這個(gè)e為自然常數(shù)，數(shù)學(xué)上將上述極限值定義為e。它的來源詳見短文：自然常數(shù)e是怎么來的？，它的極限值計(jì)算過程以及結(jié)果，在后續(xù)文章中將詳細(xì)介紹，我們在這里還是采用拿來就用的原則，確保本篇短文的連續(xù)性。
我們把對數(shù)的真數(shù)部分單獨(dú)拿出來看：
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這個(gè)式子似乎并不符合極限值自然常數(shù)e的形式，我們需要對它進(jìn)行有目的地改造，使其變成已知極限的形式：
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因此上式等價(jià)于：
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將這個(gè)結(jié)果代入最初的對數(shù)極限：
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結(jié)論：
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6、最后是我們的指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)：
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指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，如果我們直接采用求極限的辦法會陷入一個(gè)無法自拔的循環(huán)論證的怪圈，比如：
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對于上式中的
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此時(shí)，如果德爾塔x趨近0，上式中分子分母都趨近0，形成0比0這種尷尬局面，如果我們采用神奇的洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)，能夠得到
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但是很明顯，我們采用了本來需要證明的指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論此時(shí)是不合法的，所以上述方法就是循環(huán)論證。
指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)方法，我們似乎需要采用另外一種途徑才好。
好在我們知道同底數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是反函數(shù)，所以有：
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對數(shù)如何求導(dǎo)我們是會的，也就是：
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我們也可以將結(jié)果寫成另一種形式：
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這種形式表明的是函數(shù)針對自變量x求導(dǎo)。
對于函數(shù)
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我們此時(shí)如果針對y求導(dǎo)，就會得到
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根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，上下顛倒，就可以得到：
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上式表明的就是指數(shù)函數(shù)針對x求導(dǎo)的結(jié)果。
結(jié)論：
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至此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們用求極限的方式，把幾個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)公式推導(dǎo)出來，但很明顯，計(jì)算過程中采用了重要極限的計(jì)算結(jié)果，以及指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)中，采用了鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，這些極限怎么來的，鏈?zhǔn)椒▌t又是一種什么法則，本文中都沒有涉及，這些東西我們都會在后續(xù)的短文中，逐個(gè)詳細(xì)介紹。
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中考數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)一輪總復(fù)習(xí)（視頻合集）
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1、清華學(xué)霸高考數(shù)學(xué)八講（8視頻）
2、南開學(xué)霸  講  高考化學(xué)（第一部分 10視頻）
3、南開學(xué)霸  講  高考化學(xué)（第二部分 6視頻）
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