直角三角形斜邊中線定理

若∠ABC=90°，點O是AC的中點，
則BO=AC.

逆定理1
若點O是AC的中點，BO=AC，
則∠ABC=90°.

證明方法1：回歸課本
延長BO至點D，使DO=BO，連接AD、CD.
∵AO=CO，DO=BO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BO=BD，BO=AC，
∴BD=AC，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.

證明方法2：中位線
取AB的中點D，BC的中點E，連接OD、OE、DE.
根據(jù)中位線定理得：
OD∥BC，OE∥AB，DE=AC，
∴四邊形BEOD是平行四邊形，
∵DE=AC，BO=AC，
∴DE=BO，
∴平行四邊形BEOD是矩形，
∴∠ABC=90°.

證明方法3：雙等腰三角形
∵AO=CO=AC，BO=AC，
∴AO=BO=CO，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°.

證明方法4：三線合一
∵點O是AC的中點，
∴AO=AC，
又∵BO=AC，
∴AO=BO，
作OD⊥AB于點D，
∴點D是AB的中點，
又∵點O是AC的中點，
∴DO∥BC，
∴∠ABC=∠ADO=90°.

證明方法5：隱圓
∵AO=CO=AC，BO=AC，
∴AO=BO=CO，
∴點B在以點O為圓心，AC為直徑的圓上，
∴∠ABC=90°.

逆定理2
(點O是AC上一點)
若∠ABC=90°，BO=AO，
則點O是AC的中點，BO=AC.

證明方法：余角
∵BO=AO，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4，(等角的余角相等)
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴點O是AC的中點，BO=AC.

逆命題
(點O是AC上一點)
若∠ABC=90°，BO=AC，
則點O是AC的中點.

此命題不一定成立.

反例：
如圖，以直角頂點B為圓心，AC長為半徑畫圓，交AC于點O、O.
此時，∠ABC=90°，BO=AC，
但點O不是AC的中點.