數(shù)學(xué)公式是個(gè)很奇妙的東西，它潛藏在我們身邊，又不易被察覺。它無比簡(jiǎn)潔，卻能夠描述大千世界。

從無線電廣播到智能手機(jī)，從地圖測(cè)繪到衛(wèi)星導(dǎo)航，從世界旅行到太空探索，方程都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。畢 達(dá)哥拉斯定理、萬(wàn)有引力定律、麥克斯韋方程組、混沌理論、相對(duì)論……偉大的方程中蘊(yùn)藏著自然的規(guī)律、宇宙的奧秘和精妙的科學(xué)思考，展現(xiàn)了前人的智慧，為未來的探索打開大門。今年，科普作家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 的名著《改變世界的17個(gè)方程》出版了。現(xiàn)在我們將其列舉出來，看看你都掌握著哪些呢？

1.勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）

這一定理是我們理解幾何學(xué)的基礎(chǔ)。它描述了平面中直角三角形幾條邊的關(guān)系：兩條短邊a和b，它們的平方相加等于長(zhǎng)邊c的平方。

在某種程度上，這一方程將我們通常的歐幾里得幾何與曲面的非歐幾里得幾何區(qū)分開來。比如，一個(gè)畫在球體表明的直角三角形并不遵循勾股定理。

帶來了測(cè)繪、導(dǎo)航，以及較近代出現(xiàn)的狹義和廣義相對(duì)論——現(xiàn)有最好的關(guān)于空間、時(shí)間和重力的理論。

2.對(duì)數(shù)方程

對(duì)數(shù)方程可以理解為指數(shù)方程的反向公式。它旨在求一個(gè)底數(shù)的多少次方可以得到給定的量。比如，以10為底1的對(duì)數(shù)表示為log(1)=0，因?yàn)檫@里1 = 100；log(10) = 1，因?yàn)?0 = 101；很自然地，log(100) = 2。

圖中公式log(ab) = log(a) + log(b)展示了對(duì)數(shù)方程最有用的一個(gè)功能：將乘法轉(zhuǎn)化為加法。在現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)普遍應(yīng)用之前，這一直是快速計(jì)算大數(shù)乘法的便利手段，在物理學(xué)、天文學(xué)和工程學(xué)計(jì)算中起到了重要作用。

帶來了計(jì)算日食和行星軌道等天文現(xiàn)象的高效方法。快速進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的方法。工程師的忠實(shí)伴侶——計(jì)算尺。放射性衰變和關(guān)于人類感知的心理物理學(xué)。

3.微積分

圖中公式為微積分中導(dǎo)數(shù)的定義。導(dǎo)數(shù)可理解為一個(gè)數(shù)量的變化率。比如，我們可以把速度看作是位移的導(dǎo)數(shù)。如果我們步行的速度是每小時(shí)4公里，那么每個(gè)小時(shí)，我們的位移變化為4公里。

實(shí)際上，很多研究都著眼于事物是如何變化的。而導(dǎo)數(shù)與積分 (微積分的另一個(gè)重要公式) 是數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們理解變化的根本工具。

可以用來切線和面積的計(jì)算。立體體積和曲線長(zhǎng)度公式。牛頓運(yùn)動(dòng)定律、微分方程。能量和動(dòng)量守恒定律。數(shù)學(xué)物理的大部分內(nèi)容。

4.萬(wàn)有引力定律

牛頓的萬(wàn)有引力定律描述了兩個(gè)物體間的引力作用F。其中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，m1和m2表示兩個(gè)物體的質(zhì)量，r為物體間距離。在科學(xué)史上，牛頓的這一筆有著舉足輕重的地位。它不僅解釋了地球上的重力作用，還幾乎完美地詮釋了行星的運(yùn)行方式。這已經(jīng)擴(kuò)展到了太陽(yáng)系，甚至整個(gè)宇宙。

牛頓的萬(wàn)有引力定律作為經(jīng)典引領(lǐng)了物理學(xué)200余年，直到愛因斯坦的廣義相對(duì)論出現(xiàn)才被替代。

能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)日食、行星軌道、彗星返回、星系旋轉(zhuǎn)。人造衛(wèi)星、地球勘測(cè)、哈勃空間望遠(yuǎn)鏡、太陽(yáng)耀斑觀測(cè)。行星際探測(cè)器、火星車、衛(wèi)星通信和電視、全球定位系統(tǒng)。

5.復(fù)數(shù)

數(shù)學(xué)家們一直在對(duì)數(shù)字進(jìn)行細(xì)分，自然數(shù)、負(fù)數(shù)、小數(shù)、實(shí)數(shù)……后來，出現(xiàn)了虛數(shù)單位i，它表示-1的平方根。人們這才開始知道復(fù)數(shù)。

從數(shù)學(xué)上講，復(fù)數(shù)是極為優(yōu)雅的。這種代數(shù)結(jié)構(gòu)漂亮地解決了我們的需求——任何方程都具有復(fù)數(shù)解。這對(duì)實(shí)數(shù)來說當(dāng)然是不可能的。微積分也被擴(kuò)展到復(fù)數(shù)當(dāng)中，我們借此發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)字的奇妙特質(zhì)，比如對(duì)稱性。這些屬性是電子學(xué)和信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。

更好的計(jì)算三角表的方法。將幾乎所有數(shù)學(xué)推廣到復(fù)數(shù)域。用更強(qiáng)大的方法來理解波、熱、電和磁。量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

6. 歐拉多面體定理

多面體是多邊形的三維版本，好比立方體之于正方形。多面體的每個(gè)角叫做頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的連線稱為棱，棱所形成的多邊形是面。

一個(gè)立方體擁有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱和6個(gè)面。我們算一下，頂點(diǎn)數(shù)加上面數(shù)，再減去棱數(shù)，8+6-12=2。歐拉的多面體定理告訴我們，只要給定一個(gè)常規(guī)的多面體，那么頂點(diǎn)數(shù)加面數(shù)再減去棱數(shù)，結(jié)果一定是2。無論它有多少個(gè)面。

這一發(fā)現(xiàn)是我們后來稱之為拓?fù)洳蛔兞康牡谝粭l內(nèi)容。在拓?fù)洳蛔兞恐?，同類型物體的一些屬性和數(shù)量是彼此相似的。對(duì)于所有“常規(guī)的”多面體來說，V+F-E=2。這一定理以及歐拉對(duì)“柯尼斯堡七橋問題”的解答奠定了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。這個(gè)數(shù)學(xué)的分支對(duì)近代物理學(xué)有著重要意義。

純數(shù)學(xué)中最重要和最強(qiáng)大的領(lǐng)域之一：拓?fù)鋵W(xué)，它研究連續(xù)形變下不變的幾何性質(zhì)，比如曲面、紐結(jié)與鏈環(huán)。大多數(shù)應(yīng)用是間接的，但它在幕后起的作用十分關(guān)鍵。它有助于我們了解酶如何作用于細(xì)胞中的脫氧核糖核酸（DNA），以及為什么天體的運(yùn)動(dòng)可能是混沌的。

7.正態(tài)分布

正態(tài)概率分布圖近似于鐘形曲線，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用甚廣。

物理學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)都廣泛采用正態(tài)曲線作為不同研究對(duì)象的模型。其應(yīng)用如此廣泛的主要原因在于它可以描述大量獨(dú)立過程的行為表現(xiàn)。

啟發(fā)了“普通人”的概念，測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果（如醫(yī)學(xué)試驗(yàn)）的顯著性檢驗(yàn)，以及（很不幸）默認(rèn)形成鐘形曲線的傾向，就好像別的分布都不存在一樣。

8.波動(dòng)方程

波動(dòng)方程描述了波的行為，比如吉他琴弦的振動(dòng)，石子擲入湖水后的漣漪，或者白熾燈泡的燈光。波動(dòng)方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，隨著技術(shù)發(fā)展，解決這一方程也為人們理解其他微分方程打開了一扇門。

我們對(duì)水波、聲波、光波、彈性振動(dòng)等的理解取得了飛躍……地震學(xué)家使用它的改進(jìn)版本，由地球的振動(dòng)方式推斷其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。石油公司使用類似的方法尋找石油。它還應(yīng)用于預(yù)測(cè)電磁波的存在，從而帶來了無線電、電視、雷達(dá)和現(xiàn)代通信。

9. 傅里葉變換

傅里葉變換是一種理解復(fù)雜波形的方法，比如人類演講的波形。像人說話這樣復(fù)雜混亂的聲波函數(shù)，通過傅里葉變換，可以被拆分為若干個(gè)簡(jiǎn)單波形的組合。這大大簡(jiǎn)化了分析過程。傅里葉變換可以稱為現(xiàn)代信號(hào)處理、分析以及數(shù)據(jù)壓縮的核心。

傅里葉的技巧應(yīng)用極為廣泛，比如圖像處理和量子力學(xué)。它用于發(fā)現(xiàn)DNA等大型生物分子的結(jié)構(gòu)、壓縮數(shù)碼照片中的圖像數(shù)據(jù)、清理古老或損壞的錄音，以及分析地震。現(xiàn)代技術(shù)用于高效地存儲(chǔ)指紋數(shù)據(jù)和改進(jìn)醫(yī)療掃描儀。

10. 納維-斯托克斯方程

像波動(dòng)方程一樣，這是一個(gè)微分方程。納維-斯托克斯方程表述了流體的行為，比如水流過管道，氣流掠過機(jī)翼，或者雪茄上在冒煙。目前人們可以得到方程的近似解，并能夠通過計(jì)算機(jī)很好地模擬流體運(yùn)動(dòng)。不過，能否在數(shù)學(xué)上獲得納維-斯托克斯方程的精確解仍然是一個(gè)未解決的問題。

現(xiàn)代客機(jī)、快速而安靜的潛艇、以高速保持在賽道上的一級(jí)方程賽車，以及針對(duì)靜脈和動(dòng)脈血流的醫(yī)學(xué)進(jìn)步。用于求解這一方程的計(jì)算機(jī)方法，稱為計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD），被工程師廣泛用于這些領(lǐng)域的技術(shù)改進(jìn)。

11. 麥克斯韋方程組

這組偏微分方程描述了電場(chǎng) (E) 和磁場(chǎng) (H) 之間的行為與關(guān)系。

麥克斯韋方程組對(duì)于經(jīng)典電磁學(xué)的意義就像牛頓的運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律對(duì)于經(jīng)典力學(xué)一樣重要。它們是理解我們?nèi)粘Ｉ钪须姶努F(xiàn)象的基礎(chǔ)。不過我們知道，現(xiàn)代物理學(xué)里對(duì)電磁學(xué)已經(jīng)有了量子力學(xué)層面的解釋。這些優(yōu)美的公式在宏觀世界里雖然非常適用，但這只是一種近似表達(dá)。

預(yù)言電磁波存在并以光速行進(jìn)，因此光本身就是電磁波。它推動(dòng)人們發(fā)明了無線電、雷達(dá)、電視、計(jì)算機(jī)設(shè)備的無線連接，以及大多數(shù)現(xiàn)代通信技術(shù)。

12. 熱力學(xué)第二定律

該定律可表述為，在一個(gè)封閉系統(tǒng)內(nèi)，熵 (S) 總是穩(wěn)定或者增長(zhǎng)的。粗略地講，熱力學(xué)中的熵是對(duì)系統(tǒng)混亂程度的度量。一個(gè)系統(tǒng)初始是有序的，假如一塊高溫區(qū)域挨著一塊低溫區(qū)，那么非均勻狀態(tài)將趨向變?yōu)榫鶆驙顟B(tài)，即熱量會(huì)從高溫區(qū)流向低溫區(qū)，直到分布均勻。

熱力學(xué)第二定律是物理學(xué)中少有的與時(shí)間相關(guān)的定律。大多數(shù)物理過程都是可逆的，我們大可以把方程倒轉(zhuǎn)過來，不會(huì)有什么影響。然而熱力學(xué)第二定律只能按照一個(gè)方向進(jìn)行。如果我們把一個(gè)冰塊放進(jìn)熱咖啡中，我們將只能看到冰塊融化，從來不會(huì)看到咖啡凍結(jié)。

更好的蒸汽機(jī)、可再生能源效率的估計(jì)、“熱寂”的情景、物質(zhì)是由原子組成的證明，以及與時(shí)間之箭的矛盾聯(lián)系。

13.相對(duì)論

愛因斯坦憑借他的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論徹底地改變了物理學(xué)進(jìn)程。這一經(jīng)典的方程表明質(zhì)量與能量是等同的。狹義相對(duì)論告訴人們宇宙中的速度極限是光速，而以不同速度運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)歷的時(shí)間也是不同的。

廣義相對(duì)論則把引力看作是卷曲折疊的時(shí)空本身。這是自牛頓的萬(wàn)有引力定律以來我們對(duì)引力認(rèn)識(shí)的第一次重大改變。廣義相對(duì)論是我們理解宇宙起源、宇宙結(jié)構(gòu)以及最終命運(yùn)的基礎(chǔ)。

當(dāng)然有全新物理學(xué)。核武器……好吧，也許吧——但不像坊間傳聞中那樣直截了當(dāng)或言之鑿鑿。黑洞、大爆炸、GPS和衛(wèi)星導(dǎo)航。

14.薛定諤方程

這是量子力學(xué)中的主要方程。廣義相對(duì)論在宏觀上解釋了我們的宇宙，這個(gè)方程則在微觀上主宰了原子與亞原子粒子的行為。

量子力學(xué)和廣義相對(duì)論是歷史上最為卓越的兩大理論。目前所有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的現(xiàn)象都與這兩大理論相一致。量子力學(xué)也是眾多現(xiàn)代科技的根本，比如核能、半導(dǎo)體計(jì)算機(jī)以及激光等等。

在極小尺度上對(duì)描述世界的物理學(xué)進(jìn)行徹底修正，其中每個(gè)粒子都具有描述可能狀態(tài)的概率云的“波函數(shù)”。在這個(gè)層面上，世界本質(zhì)上是不確定的。它試圖將微觀量子世界與宏觀的經(jīng)典世界聯(lián)系起來，導(dǎo)致了至今仍有影響的哲學(xué)問題。但在實(shí)驗(yàn)上，量子理論效果非常漂亮，如果沒有它，就沒有今天的計(jì)算機(jī)芯片和激光器。

15.信息論

這一方程即香農(nóng)信息熵。與上述熱力學(xué)熵類似，這也是對(duì)混亂程度的測(cè)量。它測(cè)量一切可以表達(dá)的信息內(nèi)容，比如一本書，一張互聯(lián)網(wǎng)上的JPEG圖片等等。香農(nóng)信息熵給出了我們可對(duì)信息進(jìn)行無損壓縮的程度下限。

這一理論引發(fā)了對(duì)信息學(xué)的數(shù)學(xué)研究，它是我們今天網(wǎng)絡(luò)交流的基礎(chǔ)。

高效的檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼，用于從CD 到空間探測(cè)器的一切。應(yīng)用包括統(tǒng)計(jì)、人工智能、密碼學(xué)和分析DNA 序列。

16.混沌理論

這一公式即生物學(xué)家Robert May的單峰映射。它最初描述的是隨著時(shí)間的演進(jìn)，種群數(shù)量將由X變?yōu)閄t+1。給定常量k，那么前景圖將是混亂的：以X為起始值，演進(jìn)過程是一種方式；但以另一個(gè)量為起始值，演進(jìn)過程將完全是另一種樣子，哪怕這個(gè)量與X非常接近。

如我們所見，混沌行為對(duì)于初始條件非常敏感。天氣變化就是個(gè)經(jīng)典的例子——今天大氣層條件的微小變化將導(dǎo)致幾天后氣象系統(tǒng)的截然不同，這也可以理解為我們常說的蝴蝶效應(yīng)。

認(rèn)識(shí)到簡(jiǎn)單的非線性方程可以創(chuàng)建非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)，并且表觀隨機(jī)性下可能有隱藏的秩序。這一發(fā)現(xiàn)通常被稱為混沌理論，在整個(gè)科學(xué)中有無數(shù)的應(yīng)用，包括太陽(yáng)系中行星的運(yùn)動(dòng)、天氣預(yù)報(bào)、生態(tài)學(xué)中的種群動(dòng)態(tài)、變星、地震建模，以及空間探測(cè)器的高效軌道。

17. 布萊克-斯科爾斯公式

作為另一個(gè)微分方程，布萊克-斯科爾斯公式描述了金融專家和交易人如何為金融衍生品定價(jià)。諸如股票之類的金融衍生產(chǎn)品是現(xiàn)代金融系統(tǒng)的重要組成部分。

基于基礎(chǔ)資產(chǎn)和衍生品的屬性，布萊克-斯科爾斯公式可以幫助人們計(jì)算這些金融產(chǎn)品的價(jià)值。

金融業(yè)大規(guī)模增長(zhǎng)，金融工具越來越復(fù)雜，經(jīng)濟(jì)繁榮時(shí)的暴漲最終歸于崩潰，20 世紀(jì)90年代的股市動(dòng)蕩，2008年至2009 年的金融危機(jī)，以及持續(xù)的經(jīng)濟(jì)衰退。