本題選自2022年廣西北部灣中考數(shù)學(xué)倒數(shù)第2題，其中第3問考查的是線段與拋物線的交點問題，是近些年的熱點問題。

【題目】

已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．

（1）求點A，點B的坐標(biāo)；

（2）如圖，過點A的直線l：y=-x-1與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接PA，PC，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)PA=PC時，求m的值；

（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線y=a(-x2+2x+3)（a≠0）與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．

【分析】

（1）求與x軸的交點，只需令y=0即可。

（2）本題屬于等腰三角形的存在性問題。

【方法一】

聯(lián)立直線AC的解析式與拋物線的解析式，

得到點C的坐標(biāo)為（4，-5）。

設(shè)P（1，y），

則AP2=4+y2，CP2=9+(y+5)2，

則4+y2=9+(y+5)2，解得y=-3。

點P的坐標(biāo)為（1，-3）。

【方法二】

如圖，求出點C的坐標(biāo)為（4，-5）。

再過點C作x軸的平行線，過點A作y軸的平行線，交于點G，

GC與拋物線的對稱軸交于點Q，

連接GP并延長交AC于點H。

可以得到△GPQ為等腰直角三角形，

那么PQ=GQ=2，所一點P的縱坐標(biāo)為-3，

即P(1,-3)。

（3）求新拋物線與平移后的MN有且只有1個交點。

拋物線y=a(-x2+2x+3)的頂點為（1,4a）。

需要分成兩種情況討論，即a＞0或a＜0。

①當(dāng)a＞0時，可以得到拋物線的開口是向下的。

當(dāng)拋物線的頂點在MN上時，滿足條件，

此時4a=5，得a=5/4，（紅色拋物線）

當(dāng)a越大時，頂點越高，此時拋物線與MN有兩個交點，

當(dāng)拋物線恰好經(jīng)過點M時，此時仍有2個交點，

代入得，3a=5，得a=5/3，（黃色拋物線）

即a＞5/3或a=5/4時，拋物線與MN有且只有1個交點。

②當(dāng)a＜0時，拋物線的開口向上。

當(dāng)拋物線經(jīng)過點N時，此時拋物線與MN有一個交點，當(dāng)開口變大（|a|越?。┡c拋物線沒有交點。

把點N的坐標(biāo)代入，得5=a（-16+8+3），

a=-1。（綠色拋物線）

當(dāng)拋物線與MN有一個交點時，|a|的絕對值變大，開口變小，

即此時的a≤-1。

經(jīng)過分析，得到a的取值范圍為a＞5/3或a=5/4，或a≤-1。

【總結(jié)】

本題的第（3）問是比較典型的題目值得研究。此類問題關(guān)鍵是抓住圖象的變化情況，以及確定臨界位置。

《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析》第309頁11.8有相關(guān)專題介紹。