著名的納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程可能導(dǎo)致出現(xiàn)多個(gè)結(jié)果的情況，但僅限于極少數(shù)情況。

一個(gè)渦環(huán)（vortex ring）被用來證明新的結(jié)果。

作者：Leila Sloman 2022-5-2 譯者：zzllrr小樂 2022-5-2

近兩個(gè)世紀(jì)以來，各種對流體如何流動感興趣的研究人員都轉(zhuǎn)向了納維-斯托克斯方程。但是數(shù)學(xué)家仍然對它們存有基本的疑問。其中最重要的是：方程與現(xiàn)實(shí)的吻合程度如何？

即將出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)年鑒》上的一篇新論文削弱了這個(gè)問題，證明了曾經(jīng)有希望的一類解可以包含違反物理學(xué)的矛盾。這一進(jìn)展是朝著理解納維-斯托克斯與物理世界之間的差異邁出的又一步——這是數(shù)學(xué)最著名的開放問題之一的謎題。

“這非常令人印象深刻，”巴黎高等師范學(xué)院和巴黎城市大學(xué)的數(shù)學(xué)家Isabelle Gallagher說。“我的意思是，這是你第一次真正擁有 [這些] 不是獨(dú)一無二的解?！?/p>

流體本質(zhì)上難以描述，因?yàn)樗鼈兊慕M成分子不會作為一個(gè)整體移動。考慮到這一點(diǎn)，納維-斯托克斯方程使用“速度場”（velocity fields）來描述流體，該“速度場”指定三維空間中每個(gè)點(diǎn)的速度和方向。這些方程描述了起始速度場如何隨時(shí)間演變。

數(shù)學(xué)家想要回答的大問題：對于任意遙遠(yuǎn)未來的任何起始速度場，納維-斯托克斯方程是否總是有效？這個(gè)問題被認(rèn)為非常重要，以至于克萊數(shù)學(xué)研究所將其作為他們著名的千禧年獎(jiǎng)問題之一的主題，每個(gè)千禧年問題都有 100 萬美元的獎(jiǎng)金。

特別地，數(shù)學(xué)家想知道一個(gè)開始是光滑的解 - 這意味著它的速度場不會從一個(gè)附近的點(diǎn)突然變化到另一個(gè) - 是否會始終保持光滑。一段時(shí)間后，可能會出現(xiàn)代表無限速度的尖銳尖峰。這種被數(shù)學(xué)家稱為爆破（blow-up）的結(jié)果會偏離現(xiàn)實(shí)生活中流體的行為。要獲得 100 萬美元的獎(jiǎng)金，數(shù)學(xué)家必須要么證明爆破永遠(yuǎn)不會發(fā)生，要么找到它發(fā)生的例子。

即使方程可以爆破，也許不是所有的都丟失了。第二個(gè)問題是，爆破的流體是否會始終以明確的、可預(yù)測的方式流動。更準(zhǔn)確地說：無論初始條件如何，納維-斯托克斯方程是否只有一個(gè)解？

這種被稱為獨(dú)特性的特征是普林斯頓高等研究院（IAS）的Dallas Albritton和Elia Bruè以及瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院的Maria Colombo的新論文的主題。

非量子世界以這種方式運(yùn)作。物理定律決定了一個(gè)系統(tǒng)如何從一個(gè)時(shí)刻進(jìn)化到下一個(gè)時(shí)刻，沒有瞎猜或隨機(jī)性的余地。如果 納維-斯托克斯方程真的可以描述現(xiàn)實(shí)生活中的流體，那么它們的解應(yīng)該遵循相同的規(guī)則。“如果你沒有獨(dú)特性，那么這個(gè)模型[可能] 是不完整的，”明尼蘇達(dá)大學(xué)教授、Albritton 的博士生導(dǎo)師Vladimír ?verák說?！案静豢赡芟袢藗兿胂蟮哪菢佑眉{維-斯托克斯方程來描述流體。”

1934 年，數(shù)學(xué)家讓·勒雷（Jean Leray）發(fā)現(xiàn)了一類新穎的解。這些解可能會爆破，但只是一點(diǎn)點(diǎn)。（從技術(shù)上講，部分速度場變得無限，但流體的總能量仍然是有限的。）Leray 能夠證明他的非光滑解可以無限期地繼續(xù)下去。如果這些解也是獨(dú)一無二的，那么它們可以幫助理解爆破后會發(fā)生什么。

然而，這篇新論文有令人沮喪的消息。這三位作者表明，一個(gè) Leray 起點(diǎn)可以與兩個(gè)截然不同的結(jié)果一致，這意味著他們與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系比研究人員希望的要弱。

數(shù)學(xué)家懷疑這與 Leray 解有關(guān)，并且在過去幾年中，證據(jù)不斷積累。紐約大學(xué)庫朗研究所教授Vlad Vicol說，新結(jié)果“在某種程度上是最重要的” 。

Albritton、Bruè 和 Colombo 在 2020 年秋季加入 IAS（普林斯頓高等研究院） 的一個(gè)研究小組時(shí)進(jìn)入了這個(gè)領(lǐng)域。該小組的目的是閱讀數(shù)學(xué)家Misha Vishik于 2018 年在網(wǎng)上發(fā)布的兩篇 論文。雖然最受歡迎的答案是關(guān)于三維空間中的納維-斯托克斯方程，但也存在二維版本的方程。Vishik 已經(jīng)證明，非唯一性出現(xiàn)在這些二維方程的修改版本中。

然而，在Vishik發(fā)表論文兩年后，他的工作細(xì)節(jié)仍然難以理解。七人研究小組定期大約六個(gè)月開一次會，以研究論文?！拔覀兯腥硕甲龀隽素暙I(xiàn)，我們能夠看到發(fā)生了什么，”Albritton 說。

Vishik 的證明使用了外力。在現(xiàn)實(shí)世界中，力可能是由于飛濺、風(fēng)或其他任何能夠改變流體軌跡的因素。但Vishik的力是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它并不光滑，也不代表任何特定的物理過程。

有了這種力，Vishik 能夠找到二維方程的兩個(gè)不同解。他的解基于漩渦狀流動。

“它本質(zhì)上是創(chuàng)造一種流體流動，讓你四處旋轉(zhuǎn)，”Albritton 說。

Albritton和Colombo——后來 Bruè加入——意識到他們也可以使用Vishik的漩渦作為三維的兩種不同解的基礎(chǔ)。

“該策略實(shí)際上非常具有創(chuàng)新性，”Vicol 說，Albritton 在紐約大學(xué)做博士后研究期間他為 Albritton 提供了建議。

為了證明非唯一性，三位作者為三維方程構(gòu)建了一個(gè)環(huán)形的“渦環(huán)”（vortex ring）解。起初，它們的流體完全靜止，但有一種力推動它運(yùn)動。這股力，和Vishik的一樣，不是光滑的，保證了渦環(huán)也不會光滑。當(dāng)流體獲得動量時(shí)，它會沿著渦流流動，在圓環(huán)孔中盤旋，然后在外面回流。

然后作者表明，這種渦環(huán)解可以退化為不同的解。

效果就像是把石頭扔進(jìn)湖里。通常，你會看到一些波在短時(shí)間內(nèi)消散。這些波在 納維-斯托克斯方程中顯示為添加到速度場的“擾動”。你可以通過或多或少地輕輕地放下石頭來處理這種擾動的大小。如果你從靠近水面的位置非常小心地放下它，它可能幾乎不會影響到湖面。

但是，如果你在 Albritton、Bruè 和 Colombo 創(chuàng)造的水流中投入一塊石頭，擾動就永遠(yuǎn)不會消失。即使你將石頭從零高度落下，那微乎其微的干擾也會發(fā)展成更可怕的東西。這從相同的初始條件創(chuàng)建了第二個(gè)不同的解。

“你有一個(gè)解，制造一個(gè)無限小的干擾，而不是制造一個(gè)有限的干擾，”Albritton 說。“然后，解立即被分崩離析。”

新論文并未明確說明 Leray 解是否獨(dú)一無二。它的結(jié)論依賴于一種專門為使非唯一性發(fā)生而設(shè)計(jì)的外力。數(shù)學(xué)家更愿意完全避免添加力，并證明某些初始條件會導(dǎo)致非唯一性，而不受任何外部影響。這個(gè)問題現(xiàn)在也許離答案更近了。