作者：Leila Sloman（寫作實習生）2022-4-21 譯者：zzllrr小樂 2022-4-24

最近的一篇論文中，普林斯頓大學的Manjul Bhargava（曼紐爾·巴爾加瓦）解決了一個 85 年前的猜想，該猜想是關于最古老的數學難題之一：多項式方程的解，例如x2 – 3 x + 2 = 0?！斑@是一個很大的問題，著名的老問題，”蒙特利爾大學教授安德魯·格蘭維爾（ Andrew Granville）說?！癧巴爾加瓦] 有一種有趣的、不同的方法，很有創(chuàng)意。”

為了理解多項式，數學家研究它們的根，就是使多項式等于零的x值。如果將數字 1 或 2 代入x2 – 3 x + 2，你將得到零，從而 1 和 2 是該多項式的根。

方程x2 – 5 = 0 有點棘手。這個多項式不能用有理數（一個由兩個整數相除的分數）來求解。所以數學家定義了一個新的數字來解這個方程并稱之為√5。但我們對√5所知道的是它的平方是 5。一旦你有√5，你可以輕松地將其乘以 –1 以獲得第二個根：–√5。

這兩個方程在另一個關鍵方面有所不同。x2 – 5 = 0的根有助于求解我們數學系統(tǒng)中的許多其他方程，例如x2 – 20 = 0。（請注意，這里我們的數學系統(tǒng)僅限于多項式和有理數。）但是如果我們開始這樣使用它們的話，我們會發(fā)現√5和 -√5完全可以互換。對于x2 – 20 = 0，2√5  和 -2√5都是解（更一般地說，在任何情況下，都這樣）。√5處處有用，-√5也是。

這種情況是迄今為止最常見的情況。有根不可互換的有理方程很少見，就像在我們的第一個示例中一樣，如果你在數學系統(tǒng)中開始使用 2 代替 1，就會產生廢話?！叭绻闱袚Q 1 和 2，那么所有算術都會死掉，” 巴爾加瓦 的合作者、南卡羅來納大學教授弗蘭克·索恩 ( Frank Thorne ) 說。

范德瓦爾登猜想由荷蘭數學家 Bartel Leendert van der Waerden 于 1936 年提出，試圖量化有多少多項式具有不可互換的根。幾十年來的進展是穩(wěn)定但緩慢的。但最近，這一進展加速了，被推動整個數論的信風推向前方?！坝绕涫菙嫡撝懈唧w、更經典的問題，在過去 20 年中確實卷土重來，”倫敦皇家霍洛威大學教授雷納·迪特曼 ( Rainer Dietmann ) 說。

為此，巴爾加瓦在 2014 年獲得了菲爾茲獎（被廣泛認為是數學界的最高榮譽）。“巴爾加瓦推倒了一堆門，邀請人們去探索，”索恩說。

2021年夏天，關于范德瓦爾登猜想的新工作如潮水般涌現。華威大學的Dietmann 和他的合作者Sam Chow，于 6 月28 日發(fā)布了一篇取得重大進展的新論文，解決了幾個關鍵案例。接下來的一周，另一個六人團隊分享了他們自己的預印本。

在這當中，巴爾加瓦 于 7 月 1 日進行了一次在線演講。在演講中，巴爾加瓦 展示了對范德瓦爾登猜想稍作修改的證明。“他已經做到了只剩毫厘之差，”索恩說。

僅僅兩周后，在美洲數學大會期間的一次在線演示中，巴爾加瓦 分享了完全證明范德瓦爾登猜想的新工作。他于 11 月在網上發(fā)布了他的論文。

范德瓦爾登對有多少多項式具有不可互換的根感興趣。但是對于無數個多項式，他不得不以某種方式限制數目。

他從多項式的次數開始，即公式中出現的x的最高冪。多項式x2 + 1 的次數為 2，而x1? – 4 的次數為 17。然后他只研究了首項系數為 1 的多項式。這些被稱為首一多項式（ monic polynomial）。（通過僅考慮首一多項式，你可以消除一些重復計算：2 x2 – 6 x + 4 與x2 – 3 x + 2具有完全相同的根。）

最后，他通過選擇一個名為H的正數來限制其余的系數。他只研究了系數都在-H和H之間的多項式。

范德瓦爾登猜想指出，如果你計算你選擇的多項式——所有系數在-H和H之間的首一n次多項式——它們中大約H??1個將有不可互換的根。巴爾加瓦證實了這一說法。

經過多年的仔細思考，這個證明才最終形成。“我斷斷續(xù)續(xù)地思考這個問題至少七八年了，”巴爾加瓦說?！叭魏螘r候出現一些想法，即使跟其他問題有關，我都會想，哦，它是否適用于這個問題？”

最終的解充分利用了 巴爾加瓦 花費大量時間收集的技術。他沒有一次性數他的多項式池，而是將它們分成三個不同的組。根據判別式對多項式分組（判別式是與多項式的根相關的數字）。然后，巴爾加瓦使用不同的策略進攻每一組。

“它們都是來玩的。這就是讓我如此興奮的原因，”巴爾加瓦 說。“這些來自不同領域的各種想法像拼圖一樣匯集在一起，以解決問題，完美地涵蓋了所有可能的情況。”

盡管新論文解決了范德瓦爾登的猜想，但仍有無數前進的道路?！跋?巴爾加瓦 這樣的人的一大優(yōu)點是，他的獨創(chuàng)性往往會打開事物，給其他人思考和發(fā)展的機會，”格蘭維爾說。

例如，數學家可以考慮當他們從比有理數更多的數字集合開始時會發(fā)生什么。他們還可以調查范德瓦爾登猜想背后的細節(jié)：如果你不能以你想要的方式交換根，你怎么能交換它們呢？特定模式是否特別容易出現？

即使 巴爾加瓦 的技術不能直接導致數論的下一個突破，Thorne 相信這篇論文將產生更無形的影響。“我認為，閱讀這篇論文就是要意識到這些結果有待證明，”他說?！癧巴爾加瓦] 敢于相信這是可能的，他向世界證明了他是對的?！?/p>