《數(shù)學(xué)地圖》，是量子雜志Quanta Magazine的一個(gè)（可視化）項(xiàng)目，2020-2-13上線。 

文字：Kevin Hartnett

設(shè)計(jì)和可視化：Kim Albrecht和Jonas Parnow

譯者：zzllrr小樂 2020-10-27 于微信公眾號(hào)與百家號(hào)同步發(fā)布

譯者注：原文有大量可視化交互效果，因各平臺(tái)限制，只能暫以截圖形式展示，但圖片中文字內(nèi)容也盡可能被漢化，以饗讀者。另外原文介紹有些數(shù)學(xué)概念時(shí)無圖，譯者補(bǔ)上自制圖，以便讀者理解。由于圖文篇幅較長(zhǎng)，分成【1】【2】?jī)善恼?，本文是第?】篇。

這是當(dāng)今的數(shù)學(xué)地圖，它是數(shù)學(xué)家實(shí)踐的數(shù)學(xué)。

從簡(jiǎn)單的起點(diǎn)（數(shù)字，形狀，變化）開始，地圖便延伸成交織在一起的思想卷須。遵循它，您將了解素?cái)?shù)如何與幾何連接，對(duì)稱如何處理無窮大問題。

盡管地圖不一定是完整的-數(shù)學(xué)實(shí)在太龐大了，無法適合任何一張地圖-我們希望為您提供有關(guān)使這些領(lǐng)域活躍的主要問題和爭(zhēng)議以及潛入其中的概念性工具的風(fēng)味。

沒有正確或錯(cuò)誤的探索方式。您可以從一個(gè)主題到另一個(gè)主題直線走動(dòng)，或四處尋找引人注目的東西。

正如愛因斯坦曾經(jīng)寫過的那樣，如果數(shù)學(xué)是邏輯思想的詩歌，那么我們希望以此來贊賞它所描述的所有美。向下滾動(dòng)開始。

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數(shù)字Number

數(shù)字

數(shù)字是最基本的度量單位。它們的特性使人們著迷了數(shù)千年，甚至更長(zhǎng)。今天，數(shù)論在多個(gè)方向上分叉。

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數(shù)字原子——質(zhì)數(shù)

算術(shù)原子

質(zhì)數(shù)是大于1的整數(shù)，除1和它們本身以外，不能被任何整數(shù)整除。它們就像數(shù)論的原子一樣-您可以使用質(zhì)數(shù)來生成其他任何數(shù)。

在公元前三世紀(jì)，歐幾里得證明存在無限多個(gè)素?cái)?shù)。他辯稱，如果我們將所有已知質(zhì)數(shù)相乘并加1，那么這個(gè)新數(shù)字N是質(zhì)數(shù)，或者N可以被我們?cè)假|(zhì)數(shù)列表中沒有的數(shù)-新質(zhì)數(shù)整除。事實(shí)證明，這是無限的，但它從技術(shù)上來講，是有不足的：它沒有告訴我們有關(guān)素?cái)?shù)的分布，也沒有提供調(diào)查有關(guān)素?cái)?shù)的更多問題的方法。

今天，數(shù)學(xué)家對(duì)了解素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率很感興趣。

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歐拉數(shù)迭代

進(jìn)入素?cái)?shù)的窗口

在18世紀(jì)，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）使用微積分的函數(shù)研究了素?cái)?shù)。首先，他使用總和1 +?+?+?+?證明必須有無限多個(gè)質(zhì)數(shù)。然后他和許多數(shù)學(xué)家開始使用其他無窮大和來探索素?cái)?shù)的其他性質(zhì)。

例如，考慮“ zeta函數(shù)” Z（s）的總和=1/??+??+??+??+?。當(dāng)s = 1時(shí)，總和是無限的，但是當(dāng)s大于1時(shí)，總和是有限的。歐拉的工作用來證明Z接近1時(shí)Z爆炸的速率可以為您提供有關(guān)質(zhì)數(shù)發(fā)生頻率的信息。

1859年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）通過考慮s可能是復(fù)數(shù)的情況（即，既包含實(shí)部又包含“虛部”的數(shù)字）的情況，極大地?cái)U(kuò)展了該方法，這意味著它包括–1的平方根。（這些數(shù)字在開始時(shí)就被認(rèn)為是可疑的，但是它們對(duì)于解決問題始終有用。）向具有復(fù)變量的函數(shù)的轉(zhuǎn)移創(chuàng)建了一種強(qiáng)大的技術(shù)，數(shù)學(xué)家可以用它來進(jìn)攻關(guān)于質(zhì)數(shù)的更深層次的問題。

素?cái)?shù)分析

數(shù)論學(xué)家創(chuàng)建實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)變量的函數(shù)，稱為解析函數(shù)，使他們能夠研究有關(guān)素?cái)?shù)的問題。例如，他們可能會(huì)問：在很短的間隔內(nèi)大約有多少個(gè)素?cái)?shù)？或自然數(shù)可以以三種方式表示為三個(gè)平方之和？解析函數(shù)具有可解決這些問題的屬性。

該領(lǐng)域的歷史可以追溯到19世紀(jì)狄利克雷Peter Gustav Lejeune Dirichlet的作品。Dirichlet研究了“算術(shù)級(jí)數(shù)”，即以自然數(shù)A開頭并加上自然數(shù)B的倍數(shù)得到的數(shù)字列表。例如，當(dāng)A = 4且B = 7時(shí)，我們得到：4，11，18 ，25等。狄利克雷Dirichlet使用解析函數(shù)證明，只要A和B沒有任何共同的質(zhì)數(shù)因子（在我們的示例中），這種算術(shù)級(jí)數(shù)就必須包含無限多個(gè)質(zhì)數(shù)。

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黎曼Zeta函數(shù)

黎曼假設(shè)

黎曼Bernhard Riemann注意到素?cái)?shù)的分布與zeta函數(shù)Z（s）中復(fù)數(shù)s的行為密切相關(guān)。通過使用這個(gè)新的Riemann zeta函數(shù)，他可以能夠研究比Dirichlet關(guān)于素?cái)?shù)分布的更困難的問題。

另外，Riemann猜想，當(dāng)s的實(shí)部恰好等于1/2時(shí)，方程Z（s）= 0的唯一有趣的解就會(huì)出現(xiàn)。如果這是真的-一個(gè)被廣泛認(rèn)為是純數(shù)學(xué)中最重要的未解決問題的問題-我們不僅會(huì)對(duì)質(zhì)數(shù)的分布有很多了解，而且也將解決數(shù)論中的大量其他問題。

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黎曼猜想

新數(shù)字系統(tǒng)

在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種奇怪的二分法：如果忽略2，則兩個(gè)平方之和的質(zhì)數(shù)（例如73 = 82+ 32）總是比4的倍數(shù)大1，而不是兩平方和的質(zhì)數(shù)（例如7和11）總是比4的倍數(shù)少1。這稱為二平方定理。但是為什么會(huì)這樣呢？使用更大的數(shù)系中的算術(shù)版本可以理解這些問題。

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復(fù)數(shù)計(jì)算

一個(gè)更大的數(shù)系

在19世紀(jì)上半葉，卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss）發(fā)明了一種新的數(shù)字系統(tǒng)。它類似于普通整數(shù)的一種形式，但針對(duì)復(fù)數(shù)，因?yàn)椤案咚拐麛?shù)”包含“虛數(shù)”單位i，它是-1的平方根。例如：2 + 3i是高斯整數(shù)。

高斯整數(shù)幫助我們了解普通數(shù)系統(tǒng)中素?cái)?shù)的性質(zhì)。例如，當(dāng)寫為高斯整數(shù)時(shí)，可以表示為兩個(gè)平方之和的任何普通素?cái)?shù)都不再是素?cái)?shù)?？梢詫?shù)字73分解為（8 + 3i）（8 ? 3i）。然而，不是兩個(gè)平方之和的普通素?cái)?shù)仍然是高斯整數(shù)的素?cái)?shù)，7和11都不能分解成較小的部分作為高斯整數(shù)。這種關(guān)系是一個(gè)例子，說明了普通數(shù)字系統(tǒng)中質(zhì)數(shù)的屬性如何受位于較大數(shù)字系統(tǒng)中的那些數(shù)字的行為支配。

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復(fù)數(shù)

素因子問題

高斯整數(shù)具有一個(gè)重要的屬性：每個(gè)（非零）高斯整數(shù)只能以一種方式分解。該屬性稱為唯一質(zhì)數(shù)分解，事實(shí)并非對(duì)所有數(shù)字系統(tǒng)都成立。例如，在類似于高斯整數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)中，我們用?5的平方根替換i，唯一素?cái)?shù)分解失敗。例如，6等于2×3和（1 + √?5）（1 ? √?5）。這次失敗破壞了在安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）1994年成功證明費(fèi)馬最后定理之前的許多嘗試。

更小的數(shù)系

在模算術(shù)中，我們選擇一些正數(shù)m作為底數(shù)或模數(shù)。我們聲明兩個(gè)普通整數(shù)在除以m后有相同的余數(shù)時(shí)被視為相同的（模m）。例如，5和13是相同的（模4）：兩者的余數(shù)均為1，因此等于1。

普通素?cái)?shù)的屬性（例如它們是否為兩個(gè)平方之和）可以通過不同的模數(shù)系統(tǒng)之間令人驚訝的關(guān)系來解釋。

例如，考慮素?cái)?shù)5，是兩個(gè)平方之和。在以4為模的數(shù)字系統(tǒng)中，它等于1。

現(xiàn)在考慮模5數(shù)字系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，-1等于4，這是一個(gè)完全平方。

實(shí)際上，在模數(shù)為質(zhì)數(shù)且可以表示為兩個(gè)平方之和的任何數(shù)字系統(tǒng)中，-1等于完全平方。在模數(shù)是質(zhì)數(shù)且不是兩個(gè)平方之和的模數(shù)系統(tǒng)中，-1永遠(yuǎn)不是一個(gè)完全平方。

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22模10等于2

素?cái)?shù)倒數(shù)

令人驚訝的事實(shí)是，您可以通過了解p在模數(shù)為4a的模數(shù)系統(tǒng)中的行為方式，來預(yù)測(cè)非零整數(shù)a是否等于一個(gè)奇質(zhì)數(shù)p模的完全平方。高斯證明了任何p和任何a的一般關(guān)系，從而建立了現(xiàn)在所謂的二次互反定律。

中國(guó)剩余

不同的模數(shù)系統(tǒng)通常彼此之間沒有任何特殊關(guān)系。中國(guó)剩余數(shù)定理表達(dá)了這一事實(shí)。要理解該定理，首先選擇兩個(gè)沒有共同素因子的自然數(shù)（a和b，互素）。定理說，我們總是可以找到同時(shí)具有模a任何值和模b任何值的自然數(shù)。例如，對(duì)于a = 14和b = 9，有一個(gè)自然數(shù)是模14為6且模9為5（例如104），有一個(gè)自然數(shù)是模14為13且模9為1（例如55）。非正式地說，中國(guó)余數(shù)定理說，模數(shù)a和模數(shù)b的系統(tǒng)彼此獨(dú)立工作。

除法問題

有些皺紋將模數(shù)系統(tǒng)與整數(shù)區(qū)分開。在模算術(shù)中，有時(shí)兩個(gè)非零數(shù)的乘積為0。例如，6和5均模10非零，但是它們的乘積30模10等于0。當(dāng)模數(shù)為合數(shù) （非素?cái)?shù)）時(shí)，會(huì)發(fā)生相同的現(xiàn)象。

但是，在任何以質(zhì)數(shù)p為模的模數(shù)系統(tǒng)中，皺紋都會(huì)消失-兩個(gè)非零數(shù)的乘積永遠(yuǎn)不會(huì)為0。這具有重要的意義。模p數(shù)系中的每個(gè)非零數(shù)字在同一數(shù)系內(nèi)都有一個(gè)倒數(shù)（該數(shù)字與其倒數(shù)的乘積為1）。例如，以7為模，4的倒數(shù)是2，因?yàn)?×4 = 8，而8模7為1。倒數(shù)對(duì)于具有良好除法概念的數(shù)字系統(tǒng)至關(guān)重要。

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34模10等于4

有限域

普通算術(shù)包括加法，減法和乘法，符合熟悉的代數(shù)規(guī)則，例如交換律x + y = y + x和xy = yx以及分配律x（y + z）= xy + xz。具有所有這些特征的任何代數(shù)系統(tǒng)都稱為環(huán)。如果它也有一個(gè)很好的除法概念（非零數(shù)），我們稱這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)域。

整數(shù)構(gòu)成一個(gè)環(huán)，但不是一個(gè)域，因?yàn)樵趦H有整數(shù)的世界中除法是不可用的。例如，3÷6 = 0.5，它是整數(shù)之外的數(shù)字。任何以合數(shù)為模數(shù)的模數(shù)系統(tǒng)也會(huì)形成一個(gè)環(huán)，而不是一個(gè)域。但是有理數(shù)，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)系統(tǒng)是域，而整數(shù)對(duì)任何素?cái)?shù)p取模的有限數(shù)系都是域。模p算術(shù)的有限域在代數(shù)數(shù)論中無處不在。

代數(shù)幾何

數(shù)學(xué)家對(duì)解決“丟番圖方程”（具有x2 + y2= 1的整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式方程）的有理數(shù)（可以表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)）特別感興趣。這些方程式以丟番圖的名字命名，因?yàn)樗诠兰o(jì)的亞歷山大就對(duì)此研究。

勾股（畢達(dá)哥拉斯）方程x2  + y2 = z2 是丟番圖方程的一個(gè)例子。為了理解其整數(shù)解，數(shù)學(xué)家使用了幾何思想。方法是，從x2 + y2 = z2開始，將兩邊除以z2，得到（x / z）2 +（y / z）2 =1。將其重寫為u2+ v2 = 1的形式。圓上的每個(gè)點(diǎn)都由坐標(biāo)（u，v）定義。如果我們需要勾股方程的整數(shù)解，則需要在圓上找到有理點(diǎn)。這樣，我們可以用一個(gè)公共分母z來寫它們，即u = x / z和v = y / z，從而為勾股方程重構(gòu)出一個(gè)整數(shù)解（x，y，z）。

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單位圓上的有理點(diǎn)

有一種幾何方法可以找到這些點(diǎn)。例如，固定點(diǎn)P =（-1，0）。畫一條過該點(diǎn)和圓上一點(diǎn)的直線。當(dāng)直線的斜率是有理數(shù)時(shí)，第二點(diǎn)也具有有理坐標(biāo)。例如，過點(diǎn)（-1，0）斜率為?的直線過單位圓上的點(diǎn)（3/5，4/5）。這些坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于（3、4、5）勾股三元組。這樣，幾何可為所有勾股三元組提供公式。

算術(shù)幾何

早期，數(shù)學(xué)家使用幾何推理來理解勾股三元組?？梢詫⑾嗤膸缀畏椒☉?yīng)用于更廣泛的一類二次方程（最大指數(shù)等于2的方程），例如2x2 + 3y2= 5z2。這種更廣泛的應(yīng)用是算術(shù)幾何的起點(diǎn)，算術(shù)幾何使用幾何來研究多項(xiàng)式方程的有理和整數(shù)解。

域上的幾何

在將實(shí)數(shù)替換為“域”的情況下，許多數(shù)學(xué)概念都可以適用。這樣的數(shù)字系統(tǒng)包括復(fù)數(shù)和模算術(shù)（模質(zhì)數(shù)時(shí)）。這種轉(zhuǎn)換將“幾何直覺”傳送到全新的領(lǐng)域。

例如，在1922年，路易斯·莫德爾（Louis Mordell）猜想，某些類型的多項(xiàng)式方程式（階數(shù)大于3）僅具有有限多的有理解。高于3的重要性的意義可以通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來解釋，1983年由Gerd Faltings法爾廷斯（獲得菲爾茲獎(jiǎng)?wù)拢┇@得Mordell猜想的證明就充分利用了代數(shù)幾何。

幾何和素?cái)?shù)

1949年，André Weil韋伊提出了關(guān)于有限域上的代數(shù)幾何的猜想。這激發(fā)了亞歷山大·格羅騰迪克（Alexander Grothendieck）在1960年代的革命性工作，使應(yīng)用于復(fù)數(shù)的幾何技術(shù)，與應(yīng)用于有限域的幾何技術(shù)聯(lián)系起來。Grothendieck的見識(shí)催生了在算術(shù)幾何學(xué)研究中使用拓?fù)浜臀⒎謳缀危ǘ嘧兞课⒎e分的幾何化身）的許多新方法。它還為諸如黎曼假設(shè)之類的問題提供了新的見解。

對(duì)于使用有限域定義的幾何對(duì)象，Weil發(fā)現(xiàn)了如何定義大型的zeta函數(shù)新類。這些是Bernhard Riemann于1859年發(fā)現(xiàn)的zeta函數(shù)的類似物，這引發(fā)了著名的未解決的Riemann假設(shè)。韋伊在有限域上的幾何背景下推測(cè)了黎曼假設(shè)的新版本-幾何黎曼假設(shè)。格羅騰迪克（Gothendieck）和皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）的工作證明了韋伊的猜想（他們各自獲得了菲爾茲獎(jiǎng)?wù)拢?shù)論的許多當(dāng)代進(jìn)展都使用了韋伊幾何版本的黎曼假設(shè)的推廣。

橢圓曲線

某些三次方程的圖形形成“橢圓曲線”。就像數(shù)學(xué)家使用幾何推理找到二次勾股方程的有理解一樣，他們也可以使用類似的橢圓曲線方法。通過考慮經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)的直線與曲線的交叉點(diǎn)，他們可以在橢圓曲線上找到新的有理點(diǎn)。

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橢圓曲線有理點(diǎn)

橢圓曲線y2= x3 – 4x +1上的哪些點(diǎn)是有理的（意味著它們的值可以表示為分?jǐn)?shù)）？要找到它們，請(qǐng)通過成對(duì)的有理點(diǎn)畫線。線相交的所有其他點(diǎn)也將是有理的。

有關(guān)特定丟番圖方程解的許多重要問題都簡(jiǎn)化為關(guān)于橢圓曲線性質(zhì)的問題。最著名的莫過于橢圓曲線是安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）證明費(fèi)馬最后定理的的核心。它們?cè)贐SD（Birch和Swinnerton-Dyer）猜想中也起著核心作用，這是克萊數(shù)學(xué)研究所的百萬美元千禧年問題之一。

形狀

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在幾何學(xué)以及與拓?fù)涿芮邢嚓P(guān)的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家研究形狀。這些形狀可以具有任意維度-一張紙的兩個(gè)維度，日常生活的三個(gè)維度，弦論的11個(gè)維度等等。在拓?fù)渲?，形狀稱為流形，包括一維圓，球形的二維表面或弦論中發(fā)現(xiàn)的難以想象的六維卡拉比-“ Calabi-Yau”流形。如果在流形上放置一些其他結(jié)構(gòu)以測(cè)量諸如距離之類的概念，則拓?fù)鋵⒆優(yōu)閹缀巍?/p>

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球面

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環(huán)面

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三葉結(jié)

低維拓?fù)?/span>

自19世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家就已經(jīng)了解了一維和二維流形。在20世紀(jì)中葉，一個(gè)令人驚訝的發(fā)現(xiàn)是，具有五個(gè)或更多個(gè)維度的形狀也相對(duì)容易分析-這些額外的維度為數(shù)學(xué)家提供了更大的回旋余地，這使他們可以運(yùn)用更多的技術(shù)。拓?fù)渲性S多最困難的開放問題都在維度3和維度4中，在這方面，數(shù)學(xué)家仍在尋求更好的理解，以了解如何區(qū)分流形以及如何理解區(qū)分它們的特征。

如何區(qū)分形狀

您如何展示兩個(gè)流形不能相互轉(zhuǎn)換？數(shù)學(xué)家尋求不變量-即使形狀變形了也不變。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的示例：以一個(gè)球體為例?，F(xiàn)在在其上繪制三角形，以便球體的整個(gè)表面都鋪有三角形。計(jì)算角的總數(shù)，減去邊的數(shù)量，然后加上面的數(shù)量。如果對(duì)球體執(zhí)行此操作，或者在拓?fù)渖系刃в谠撉蛎娴娜魏涡螤睿瑒t得到2。但是對(duì)于甜甜圈或環(huán)面，則得到0。球面與環(huán)面之間的區(qū)別證明了這些形狀 在拓?fù)渖鲜遣煌摹?/p>

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8面體

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20面體

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32面體

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80面體

三角剖分猜想

在20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家提出了三角剖分猜想，該猜想要求：是否可以將任意維度的任意形狀均勻地分成三角形部分？到1950年代，他們已經(jīng)證明了三角剖分猜想適用于一維，二維和三維。在1980年代，他們發(fā)現(xiàn)了反例，在四維反駁了它。2013年，數(shù)學(xué)家Ciprian Manolescu發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的不變量，并用它證明了三角剖分猜想在維度5和更高維度上是錯(cuò)誤的。