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有了前兩期的鋪墊，本期我們來(lái)證明0.9的循環(huán)等于1。我們現(xiàn)在知道每一個(gè)戴德金分割對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，所以我們只要證明這兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的戴德金分割是一樣的就可以了。  0.999…的戴德金分割 A={x∈Q|x<0.999…}， B={x∈Q|x≥0.999…}。 顯然A∩B=?，A∪B=Q。 1的戴德金分割 M={x∈Q|x<1}， N={x∈Q|x≥1}。 顯然M∩N=?，M∪N=Q。 證明兩種分割相等 要想證明分割一樣，就要證明集合A=M。 （1）證A?M； 設(shè)a∈A，∴a<0.999…， ∴a<1，∴a∈M。 （2）證M?A； 設(shè)m∈M，∴m<1。 因?yàn)閙是有理數(shù)，∴m=p/q<1, ∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q, ∵p<q，∴q-p≥1， ∴(q-p)/q≥1/q。 總是存在正整數(shù)n，使得 10n>q, ∴1/ 10n <1/q, ∴1-m>1/ 10n, ∴m<1- 1/ 10n=0.99…9(n個(gè)9)， ∵0.99…9(n個(gè)9)<0.999…, ∴m<0.999…, ∴m∈A。 因此我們得到A=M。這就說(shuō)明兩個(gè)分割是一樣的。故0.9的循環(huán)等于1。 很多網(wǎng)友想通過(guò) 10×0.999…=9.999… 或 1/3=0.333…， 來(lái)證明。 但是有兩個(gè)問(wèn)題， 1. 沒(méi)有嚴(yán)格定義過(guò)無(wú)限小數(shù)的乘法。 2. 1/3為什么等于0.333…。 圖 文：小 修 排 版：歪 歪 |
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來(lái)自： 一個(gè)大風(fēng)子 > 《學(xué)習(xí)之余》
