一、教材分析

教材截圖

（考慮到研討時(shí)部分教師未帶有2019版課本，這里對教材截個(gè)圖）

教材分析：

1.函數(shù)極值的定義

函數(shù)的極值是學(xué)生在本小節(jié)第一次接觸到的新概念。

教材通過具體案例,結(jié)合函數(shù)圖象,直觀地給出了極值的概念,并通過具體函數(shù)在極值點(diǎn)及兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的變化情況,通過探究歸納出用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般方法.對于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)的最大（小)值問題,則側(cè)重于借助實(shí)例讓學(xué)生體會如何利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最大（小)值。

教材以高臺跳水實(shí)例引人函數(shù)極值的討論.在觀察教材的圖5.3-9時(shí),要讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號變化之間的關(guān)系。

容易發(fā)現(xiàn),當(dāng)t=a時(shí),運(yùn)動員距水面的高度h最大。

為了讓學(xué)生從圖象上直觀地看到t=a附近函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號變化,教學(xué)時(shí)可以采用信息技術(shù)工具,放大函數(shù)在t=a附近的圖象（圖5-4)。作出函數(shù)圖象在t=a的左側(cè)某點(diǎn)處的切線,當(dāng)切點(diǎn)沿函數(shù)圖象從t=a的左側(cè)移動至右側(cè)時(shí),切線斜率由正數(shù)變到0,再由0變到負(fù)數(shù).

結(jié)合上述過程,學(xué)生可以直觀看到:

(2)在t=a附近,當(dāng)t<a時(shí),函數(shù)h(t)單調(diào)遞增,;當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞減,.

教學(xué)時(shí),教師可首先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,直觀感受函數(shù)在某些特殊點(diǎn)（極值點(diǎn)）的函數(shù)值與附近點(diǎn)的函數(shù)值大小之間的關(guān)系,以及函數(shù)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與這些點(diǎn)附近函數(shù)的增減情況;然后結(jié)合教材第90頁的“探究”，給出函數(shù)的極大值和極小值的概念,分析求函數(shù)極值的方法。

2.關(guān)于例5的說明

在用導(dǎo)數(shù)求具體函數(shù)的極值時(shí),求三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值是重點(diǎn)。

例5給出了求三次多項(xiàng)式函數(shù)極值的方法.需要說明的是,教材中的表5.3-2給出了當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況.由表5.3-2,可以直觀清楚地看出函數(shù)的變化情況,并由此得出函數(shù)的極大值與極小值。

教材中的圖5.3-12是函數(shù)f(x)的圖象,教學(xué)時(shí)應(yīng)利用它為所得結(jié)論提供直觀驗(yàn)證.需要注意的是,極大值和極小值反映的是函數(shù)在某點(diǎn)附近的性質(zhì),是局部性質(zhì)，而且極大值不一定大于極小值.

在例5中,求出該函數(shù)的極大值大于極小值后,為了使學(xué)生不產(chǎn)生“極大值一定大于極小值”的誤解,教材安排了“邊空”中的問題:“極大值一定大于極小值嗎?”.教學(xué)時(shí)教師應(yīng)先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后可用教材中的圖5.3-13加以說明,并進(jìn)一步舉具體函數(shù)的實(shí)例加以印證.例如,函數(shù),在處的極小值大于在點(diǎn)處的極大值(圖5-5).

3.可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件,而非充分條件.教材第91頁安排的“思考”,是為了引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論:“導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)”.教材利用函數(shù)說明了上述結(jié)論,并進(jìn)一步闡明:函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件,而非充分條件.

可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x=x₀處取極大（小)值的充分條件是:

(2)在x=x₀附近的左側(cè),在右側(cè).

教材在此基礎(chǔ)上歸納概括了求函數(shù)y=f(x)的極值的一般步驟.教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生將上述步驟與判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟進(jìn)行比較,由此找出異同點(diǎn).

4.函數(shù)的最大（小)值

極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),而不是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì).但是,在解決實(shí)際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們往往關(guān)心函數(shù)在定義域內(nèi)或指定的區(qū)間上,哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小.本小節(jié)在函數(shù)的極大（小)值基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究函數(shù)的最大（小)值問題.

在函數(shù)的最大（小)值的教學(xué)中,要體現(xiàn)從特殊到一般的過程,結(jié)合函數(shù)圖象直觀地得出一般結(jié)論:

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.

結(jié)合函數(shù)極值中的例子以及函數(shù)的圖象不難看出,只要把函數(shù)y=f(x)的所有極值連同耑點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以求出函數(shù)的最大(小)值.

5.關(guān)于例6的說明

例6在例5求函數(shù)極值的基礎(chǔ)上進(jìn)一步求函數(shù)的最大(小)值。

教學(xué)時(shí)要結(jié)合例5來進(jìn)行.例5已求出函數(shù)的極大值和極小值,但在例6給定的區(qū)間[0,3]上沒有極大值,求出函數(shù)在給定區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(0)=4,f(3)=1,再把區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間上的極小值進(jìn)行比較就得到函數(shù)的最小值為,而最大值只需比較兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得到,最大值為4.

例6的一個(gè)重要教學(xué)目的,就是歸納總結(jié)如下的求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的步驟:

（1）求出導(dǎo)函數(shù)及其零點(diǎn);

（2）用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)劃分區(qū)間[a,b],列表得出在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)和f(x)的增減變化情況;

(3)根據(jù)所列表格,比較函數(shù)的極值與函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的大小,得出函數(shù)的最大(小)值.

學(xué)生熟悉用上述一般步驟求函數(shù)的最大(小)值之后,對一些簡單的求函數(shù)最大（?。┲祮栴},有些步驟可以省略。

6.利用函數(shù)的最大(小)值證明不等式

通過本節(jié)例4,借助圖象可以直觀得到不等式

教材第94頁介紹了構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)s(x)的最小值來證明上述不等式的方法。

教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生自己嘗試構(gòu)造函數(shù),體會用求函數(shù)最大值來證明這個(gè)不等式的方法,并由此對用求函數(shù)最大(小)值證明不等式的步驟進(jìn)行適當(dāng)梳理.

7.關(guān)于例7的說明

例7是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)以及畫函數(shù)大致圖象的問題。

教學(xué)時(shí),應(yīng)特別重視畫出函數(shù)大致圖象的過程,并由畫圖過程提煉出函數(shù)作圖的基本步驟,厘清這些步驟與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)極值等問題的步驟之間的聯(lián)系.

在得到函數(shù)圖象后,還可以啟發(fā)學(xué)生由圖象進(jìn)一步研究函數(shù)的最大（?。┲?、函數(shù)的值域等性質(zhì).

函數(shù)的最小值為,無最大值;函數(shù)的值域?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/12/0716/235474421_36_20211207041303927' src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">。

在通過觀察函數(shù)的圖象得出方程的解的個(gè)數(shù)后,還可以讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理,進(jìn)一步研究方程的解所在的區(qū)間。

在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的步驟;

(1)求出函數(shù)f(x)的定義域,確定函數(shù)圖象的大致范圍;

(2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值;

（3）利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)畫出f(x)的大致圖象;

(4)利用函數(shù)f(x)的圖象進(jìn)一步研究函數(shù)的最大（?。┲?、值域、零點(diǎn)等性質(zhì).

8.關(guān)于例8的說明

教材安排例8,意在通過實(shí)例介紹導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

當(dāng)把每瓶飲料的利潤表示為

后，教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)介紹利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)最大值的方法.

本例中y的最大值也可以用其他方法求解.例如,

令y<0,解得0<r<3.此時(shí)

當(dāng)r=6-2r,即r=2時(shí)，.

令,可得.此時(shí)

所以，當(dāng)r=6時(shí)，.

教學(xué)時(shí),教師可以通過解決問題的不同方法,說明用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大（?。┲凳且话惴椒?具有明確的步驟性和可操作性.

通過此問題的解決,本例一開始時(shí)的問題可以解釋為:

(1)市場上等量的小包裝的物品,由于其成本比大包裝的高,要想保持一定的利潤,就需要提高其銷售價(jià)格，所以比較起來等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些.

(2)由例8的結(jié)論可知,飲料瓶越大飲料公司的利潤越大.