最近，著名數(shù)學(xué)家丘成桐先生寫了一部內(nèi)容很豐富的自傳《我的幾何人生》。丘成桐先生在這部自傳中，比較詳細地回顧了自己一生的學(xué)習(xí)、研究和工作的主要經(jīng)歷，讓我們了解了他是怎樣從一名數(shù)學(xué)系的學(xué)生成長為一位舉世聞名的數(shù)學(xué)大師的。該書中同時也展現(xiàn)了上世紀后半葉現(xiàn)代幾何學(xué)發(fā)展過程中的許多重要場景和事實，由此可以增加我們對于極其抽象的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解與感悟。這部自傳在提供了丘成桐先生個人所積累的一些寶貴的人生經(jīng)驗的同時，還講述了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界的許多趣聞逸事，讀來收獲頗豐。

圖1：《我的幾何人生》封面

丘成桐先生目前擔(dān)任的主要職務(wù)是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心主任，他是第一位獲得菲爾茲獎、第二位獲得沃爾夫獎的華人數(shù)學(xué)家（第一位獲得沃爾夫獎的華人數(shù)學(xué)家是陳省身先生）。在1983年于波蘭華沙召開的第十九屆國際數(shù)學(xué)家大會上，34歲的丘成桐先生因為證明了幾何分析中的卡拉比猜想、正質(zhì)量猜想、以及其他一些重要猜想而被授予菲爾茲獎。在2010年，61歲的丘成桐先生因為他“在幾何分析的工作對幾何學(xué)和物理學(xué)的許多領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻和戲劇性的影響”而獲得了沃爾夫獎。在沃爾夫獎的頒獎詞中這樣說道：

“

“丘成桐用一種新的方式將偏微分方程、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)物理這三個分支聯(lián)系在一起，從而全面規(guī)劃了幾何分析這一新領(lǐng)域。他發(fā)展了全新的分析方法，用來求解了幾個很困難的非線性偏微分方程，特別是Monge-Ampère型偏微分方程，這些新的分析方法對于黎曼幾何、凱勒幾何、代數(shù)幾何及代數(shù)拓撲的發(fā)展來說是至關(guān)重要的，它們迅速改變了這些分支的面貌。”

”

圖2：上世紀90年代的陳省身先生與丘成桐先生，圖片來自網(wǎng)絡(luò)

在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所編寫的介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)所現(xiàn)狀的《數(shù)學(xué)的樂園》（科學(xué)出版社2014年）一書中，對幾何分析這一新領(lǐng)域是這樣介紹的：

“

“幾何分析是微分方程、非線性分析、微分幾何與拓撲學(xué)的交叉學(xué)科，其目的是解決流形上的幾何與拓撲問題?，F(xiàn)代幾何分析最早可以追溯到：Morse理論及其在測地線問題中的應(yīng)用（20世紀20年代）；Hodge理論以及Douglas-Rado關(guān)于極小曲面Plateau問題的研究（20世紀30年代）。然而直到20世紀60、70年代幾何分析才有了堅實的基礎(chǔ)，因為此時期線性偏微分方程的理論相對成熟，而流形上的非線性分析（當(dāng)時稱為global analysis）也蓬勃發(fā)展，特別是變分方法和熱流方法的研究開始成為熱點。20世紀60年代幾何分析的著名代表性工作包括Atiyah-Singer指標定理、Eells-Sampson關(guān)于調(diào)和映射的工作。

Atiyah-Singer指標定理是20世紀數(shù)學(xué)的偉大成就之一，此定理揭示了分析與拓撲之間的深刻聯(lián)系。這個定理預(yù)示著分析學(xué)在微分幾何中的應(yīng)用將日益廣泛和深入，進而相互交融。20世紀中葉微分幾何所展現(xiàn)的勃勃生機吸引了比以往任何時候都多的青年才俊加入其研究行列，到了70年代，一批數(shù)學(xué)家開始用偏微分方程的理論來研究微分幾何中產(chǎn)生的偏微分方程，他們研究了流形上的函數(shù)論、流形的特征值、典則度量的存在性及極小曲面與極小子流形等問題并獲得前所未有的巨大進展，得到了一批令幾何學(xué)家激動人心和倍受鼓舞的結(jié)果。尤其令人印象深刻的是丘成桐證明了卡拉比猜想，……”

”

丘成桐先生就是在幾何分析這個領(lǐng)域大發(fā)展的背景下，在上世紀70年代初加入到數(shù)學(xué)研究的隊伍中來的。

在丘成桐先生的這部自傳中，第一章“童年顛沛”講他從1949年出生到初中畢業(yè)的成長經(jīng)歷，第二章“何去何從”講他在高中與大學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，第三章“初履北美”主要講丘成桐先生在美國伯克利加州大學(xué)讀研究生的經(jīng)歷，第四章“仰望卡峰”和第五章“高峰挺進”講他在斯坦福大學(xué)和洛杉磯加州大學(xué)（即書中所說的UCLA）等幾個大學(xué)工作時，用長達六年的時間證明卡拉比猜想的過程，第六章“故里難通”和第七章“斯年堪紀”主要講他證明正質(zhì)量猜想的過程以及在1979年第一次回中國交流訪問的經(jīng)歷，第八章“弦籌共融”主要講卡拉比-丘（成桐）流形被應(yīng)用于理論物理學(xué)中的弦理論的過程，第九章“適彼樂土”主要講丘成桐先生在哈佛大學(xué)工作時研究鏡像對稱的經(jīng)歷，第十章“矢志興中”講他在世紀之交時回中國創(chuàng)辦晨興數(shù)學(xué)中心和籌辦北京國際數(shù)學(xué)家大會的經(jīng)歷，第十一章“龐氏余波”主要是丘成桐先生澄清在數(shù)學(xué)界攻破著名的龐加萊猜想難題的過程中，自己所起到的促進作用，第十二章“東風(fēng)西風(fēng)”是該書的最后一章，其中丘成桐先生談了他最近十多年來回國工作后的一些感想。

圖3：《我的幾何人生》封二對丘成桐先生的簡歷與成就的介紹

在該書的以上所有這些內(nèi)容中，筆者比較感興趣的是第四、五章內(nèi)講丘成桐先生怎樣證明卡拉比猜想的具體過程。這是因為對于幾何分析這一新領(lǐng)域的形成來說，卡拉比猜想的證明具有特別重要的意義。

卡拉比猜想是復(fù)微分幾何中關(guān)于凱勒流形的一個十分重要的猜想，它是由數(shù)學(xué)家卡拉比（Calabi）在1954年提出的?？ɡ炔孪氲膬?nèi)容主要涉及凱勒流形上的里奇張量，該張量反映了凱勒流形的基本幾何性質(zhì)，而凱勒流形是一種很重要的復(fù)流形，這種復(fù)流形不僅是黎曼流形對于復(fù)數(shù)世界的自然推廣，實際上也是性質(zhì)非常好的黎曼面的高維推廣。因此不難理解凱勒流形必定具有非常豐富的幾何與拓撲性質(zhì)，例如在代數(shù)幾何學(xué)中所研究的代數(shù)簇中有許多就是凱勒流形。

卡拉比猜想的具體內(nèi)容簡單來說大致是這樣的：

卡拉比自己只能證明這個凱勒度量的唯一性，而要證明這種特殊度量的存在性問題，可以比較容易地歸結(jié)為求解下面這個復(fù)偏微分方程：

這里的 表示相關(guān) 階矩陣的行列式，而 是該凱勒流形 的凱勒度量的各項系數(shù)函數(shù)， 是一個光滑函數(shù)， 是一個滿足與 及流形 有關(guān)的可積性條件的常數(shù)。我們可以設(shè)想一下，如果 是一個10維流形，那么上述方程中行列式的階數(shù) ，從而等式左邊的行列式中就有100個兩階偏導(dǎo)數(shù)，并且它們以一種非常復(fù)雜的方式組合在一起（即分成10組分別相乘后再相加）。因此可以想象，上述這個被稱為“蒙日-安倍（Monge-Ampère）型”的偏微分方程（1）是一個高度非線性的偏微分方程。這個極其艱難的證明該偏微分方程光滑解 的存在性任務(wù)，就是由丘成桐先生一個人在上世紀70年代獨立完成的。

圖4：20世紀70年代的丘成桐先生，圖片來自《20世紀數(shù)學(xué)經(jīng)緯》（華東師范大學(xué)出版社）

其實據(jù)丘成桐先生的《我的幾何人生》詳細記載，在剛接觸到卡拉比猜想時，丘成桐先生并不相信其正確性。他試圖用反證法來找到一個反例，以此來推翻卡拉比的猜想。

在1973年的上半年，丘成桐先生認為自己已經(jīng)“差不多找到一個反例了”（該書96頁，下同），所以在該年8月的一次很重要的國際微分幾何研討會上非正式地報告了自己的發(fā)現(xiàn)。他敘述說：“到了研討會結(jié)束，大家都覺得我已經(jīng)推翻了卡拉比猜想，于是各自散去。卡拉比和陳（省身）先生都認為我找到個很好的反例，卡拉比一點也不失望，差不多懸在心上二十年的大石頭終于放下來了，他的心情頓時輕松了”（101頁）。但是到了1973年的秋天，丘成桐先生說：

“

“我收到卡拉比寄來的一封信，信簡短而措辭得體。8月聽過我的演講后，他一直在想這個問題，深思之余對某些方面還感迷惑，他希望我把思路扼要地寫下來，好教他更好地弄明白。對我來說，卡拉比的信就如暮鼓晨鐘，把我驚醒了”（106頁）。

”

丘成桐先生繼續(xù)說：

“

“我花了兩星期去證明卡拉比猜想不對，結(jié)果弄到差不多要掛掉了。到了此時，必須考慮這個希欽和我，還有許多人，都認為'好到難以置信’的猜想或者是對的。確是如此，過了一段日子后，我漸漸相信它是對的了。于是我做了一百八十度的轉(zhuǎn)變，傾注心力去證明卡拉比說的沒有錯”（106頁）。

”

這些過程讀起來感覺是跌宕起伏。從1971年左右開始運用反證法考慮卡拉比猜想的問題，丘成桐先生到此時已經(jīng)花去了近三年的時間。接下來丘成桐先生又用了三年的時間從正面來證明卡拉比的猜想，也就是證明上述那個高難度的蒙日-安倍方程（1）存在光滑解。他說，這個蒙日-安倍方程“是整個猜想的巨大絆腳石?？ɡ忍岢鲞@猜想二十年來，工作的進展甚為緩慢，其因在此”（110頁）。

丘成桐先生在書中還說，解決這類問題的策略是

“

“在于尋求一系列的近似解，近似的程度愈來愈精準，以至最后能收斂至真正的解。我希望同樣的方法可以應(yīng)用于復(fù)蒙日-安倍方程，從而破解卡拉比猜想。證明這方程存在解，建立了卡拉比所設(shè)想的具特殊幾何性質(zhì)的空間的存在性”（110頁）。

”

丘成桐先生在證明卡拉比猜想時，運用了許多數(shù)學(xué)方法，其中就包括了基本的復(fù)幾何、偏微分方程與泛函分析的方法，當(dāng)然最基本的方法是一種近似逼近的方法，也就是通過構(gòu)造一系列類似于蒙日-安倍方程（1）的偏微分方程，從而分別得到它們的一系列解，這些解形成了一個函數(shù)列，然后設(shè)法證明這個函數(shù)列一定會收斂到某一個函數(shù) ，并且這個極限函數(shù) 正好就是蒙日-安倍方程（1）的解。而為了證明這個函數(shù)列是收斂的，以及它的極限函數(shù) 是光滑的，就必須要進行大量非常困難的“先驗估計”，即推導(dǎo)和運用眾多的不等式來對相關(guān)方程的解函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的大小來進行適當(dāng)?shù)墓烙嫼涂刂?。丘成桐先生在自傳中非常通俗地解釋了他的這種證明方法：

“

“我把整個證明分拆成四個不同的估計，那就是所謂零階、一階、二階和三階估計。前面說過，蒙日-安倍方程的解是個函數(shù)，我們要做的乃是找出對這函數(shù)的界，說明它沿正的方向不能太大，沿負的方向不能太小，即是說，該函數(shù)不可能變成無限大。零階的估計說明函數(shù)的極大值能夠達到，一階估計則給出函數(shù)一次導(dǎo)數(shù)的大小。具體而言，必須證明一階導(dǎo)數(shù)的絕對值不會變得很大。換句話說，函數(shù)本身的振幅不能過大。類似地，二階估計有關(guān)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的最大絕對值，我們需要證明它是有界的，即一階導(dǎo)數(shù)不能有快速的振動。同樣的想法可用于三階或更高階的情況。這些高階的估計提供了函數(shù)如何變化的訊息，如變化有多大和多快等。

1974年時，我已經(jīng)知道如何處理三階估計。到了1975年的夏天，我要到紐約前，成功導(dǎo)出了二階估計。在柯朗所這幾個月，我在概念上想通了，原來有了零階和二階估計，就可以推導(dǎo)出一階的估計。換句話說，整個證明就剩下一個估計，即零階估計。”（118頁）

”

這最后的一步“零階估計”一直要工作到1976年的下半年才得以完成。這樣，丘成桐先生終于把卡拉比猜想變成了卡拉比-丘（成桐）定理。接下來，丘成桐先生將整個證明卡拉比猜想的過程經(jīng)過仔細的整理和檢查審核后，寫成了兩篇論文正式發(fā)表。

第一篇論文的題目是“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代數(shù)幾何中的一些新結(jié)果）”，發(fā)表于1977年。這是一篇只有5頁的很短的論文，它的內(nèi)容包含了6個定理，其中第一個定理就是卡拉比-丘定理。除了卡拉比-丘定理沒有給出證明外，其他的五個定理都是運用了卡拉比-丘定理來證明的，因此它們都是卡拉比-丘定理的推論。在這五個實際上屬于代數(shù)幾何的定理中，有兩個定理解決了長期懸而未決的大問題，因此在當(dāng)時的代數(shù)幾何學(xué)界引起了轟動。

圖5：丘成桐先生寫的論文“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代數(shù)幾何中的一些新結(jié)果）”

在這篇論文中，第二個定理的大意是說：

這個定理是通過將卡拉比-丘定理運用于第一陳類為零的情形而得到的。到了此時，由于已經(jīng)證明了使得里奇曲率為零的凱勒度量的存在性，所以數(shù)學(xué)家們自然就將具有這種特殊度量、并且第一陳類為零的凱勒流形命名為“卡拉比-丘流形”。后來的發(fā)展表明，這種新流形的幾何學(xué)在復(fù)幾何、代數(shù)幾何學(xué)與理論物理中都具有很重要的應(yīng)用。例如目前在理論物理中所研究的弦理論是一種試圖統(tǒng)一自然界中所有的力（包括量子引力）的理論，而在弦理論中所用到的主要數(shù)學(xué)模型不是別的，正好就是卡拉比-丘流形。

丘成桐先生所寫的第二篇論文的題目是“On the Ricci Curvature of a Compact K?hler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（關(guān)于緊凱勒流形的里奇曲率與復(fù)蒙日-安倍方程I）”，發(fā)表于1978年。這是一篇長達61頁的論文，它的任務(wù)只有一個，那就是證明卡拉比-丘定理。這篇論文充滿了各種高難度的計算、估計和不等式，例如在進行三階估計時，丘成桐先生所作的復(fù)雜計算是這樣的：

圖6：丘成桐先生的論文“On the Ricci Curvature of a Compact K?hler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation,I（關(guān)于緊凱勒流形的里奇曲率與復(fù)蒙日-安倍方程I）”中，在進行三階估計時的一頁

美國密西根大學(xué)數(shù)學(xué)系的季理真老師在三年前編了一本很好的英文書《Complex Geometry from Riemann to K?hler-Einstein and Calabi-Yau（從黎曼到凱勒-愛因斯坦和卡拉比-丘的復(fù)幾何）》（高等教育出版社2018年出版），其中包含了十多位數(shù)學(xué)大師在復(fù)幾何方面的奠基性原始論文、季理真老師寫的關(guān)于復(fù)幾何發(fā)展歷史的文章，以及丘成桐先生寫的關(guān)于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的評論等十分豐富的內(nèi)容。這十多位數(shù)學(xué)大師包括了黎曼、凱勒、陳省身、周煒良、卡拉比、小平邦彥、希策布魯赫、阿蒂亞、丘成桐和唐納森等人。丘成桐先生寫的上述這兩篇證明卡拉比猜想的論文也被收錄在了這本英文書中，使我們閱讀起來更加方便。

圖7：《Complex Geometry from Riemann to K?hler-Einstein and Calabi-Yau（從黎曼到凱勒-愛因斯坦和卡拉比-丘的復(fù)幾何》（高等教育出版社2018年出版）

下面用沃爾夫獎的頒獎詞中對丘成桐先生的一段評價來結(jié)束本文，它們很好地概括了丘成桐先生所作出的在證明卡拉比猜想以外的重要貢獻：

“

“人們將凱勒流形中一類很重要的流形稱為卡拉比－丘流形，它已經(jīng)成為了弦理論的基石，而弦理論的目的在于試圖去理解：在一個高維空間內(nèi)各種物理學(xué)意義上的力的作用最終是怎樣形成我們所處的四維時空世界的。丘教授關(guān)于T-對偶性的工作是鏡像對稱理論的一個重要組成部分，這項工作是將弦理論、代數(shù)幾何及辛幾何進行交叉發(fā)展而產(chǎn)生的。在解決了廣義相對論中的正質(zhì)量猜想和正能量猜想問題的同時，他創(chuàng)造了強有力的分析工具和方法，它們能夠被廣泛地應(yīng)用于關(guān)于時空的整體幾何學(xué)的研究中。

丘教授關(guān)于黎曼流形上的特征值與熱核估計的研究工作被認為是流形上的分析中最為深刻的成就。他研究了極小曲面，并且解決了幾個經(jīng)典問題，然后運用其中的成果開創(chuàng)了幾何拓撲學(xué)研究的一種嶄新方法。丘教授在過去的幾十年里所取得的極其豐富的研究成果，推動了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與理論物理等許多領(lǐng)域的發(fā)展。在獲得各種不同的重要數(shù)學(xué)成就、并且以此啟發(fā)了幾代數(shù)學(xué)家們的同時，丘教授還通過訓(xùn)練數(shù)量極多的研究生和創(chuàng)建了幾個活躍的數(shù)學(xué)研究中心，對世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了巨大的影響。”

”

圖8：《我的幾何人生》的封底中丘成桐先生的自我評價和學(xué)界對丘成桐先生的評價，在文字的下方還附有一個卡拉比-丘流形的幾何模型圖

圖9：丘成桐先生的出生地是廣東省梅州市的蕉嶺縣，這是前兩年新建的位于蕉嶺縣城公園內(nèi)的卡拉比-丘流形的幾何模型雕塑，圖片來自網(wǎng)絡(luò)