微分幾何學的產生和發(fā)展是和數學分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。十八世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業(yè)的日益增長的要求是促進微分幾何發(fā)展的因素。1827年，高斯發(fā)表了《關于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現代形式曲面論的基礎。微分幾何發(fā)展經歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內容，建立了曲面的內在幾何學。其主要思想是強調了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎。

1872年克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發(fā)表后的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發(fā)展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學位論文，后來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發(fā)展，1916年起又經以富比尼為首的意大利學派所發(fā)展。隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學和廣義相對論中的得到了廣泛的應用，逐漸在數學中成為獨具特色、應用廣泛的獨立學科。

微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數的，但這兩點間最短的路徑只有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質等。另外，討論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要內容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動標形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。

在微分幾何中，由于運用數學分析的理論，就可以在無限小的范圍內略去高階無窮小，一些復雜的依賴關系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何學同黎曼幾何、拓撲學、變分學、李群代數等有了密切的關系，這些數學部門和微分幾何互相滲透，已成為現代數學的中心問題之一。微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的應用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪嚙合理論應用方面，都充分應用了微分幾何學的理論。微分幾何學的研究對數學其他分支以及力學、物理學、工程學等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關系；測地線和力學、變分學、拓撲學等有著深刻的聯系，是內容豐富的研究課題。而由歐式幾何到微分幾何的歷史變遷還要從以下說起。

幾何是geometry的音譯。其詞頭geo是“土地”的意思,詞尾metry是“測量學”的意思,合起來是“土地測量學”的意思。這反映了幾何學起源于實際問題。

古希臘的歐幾里得寫了一本書，中文譯名為“幾何原本”，內容包含平面幾何學、空間幾何學和數論，總結了古希臘的很多數學知識，可能是從古至今影響最大的科學著作。中學課本中的平面幾何學內容大都來源于《幾何原本》,從中可以學到古希臘人用以邏輯為基礎的理性思維進行科學研究的方法。愛因斯坦認為一個人如果在年輕時對平面幾何從沒產生過興趣的話，恐怕很難在科學上做出重要發(fā)現。

幾何學的下一個進展由哲學家笛卡爾取得，據說他身體不好，經常需要臥床休息，有一次看到在墻角織網的蜘蛛，受啟發(fā)引進了坐標的概念。由此產生了解析幾何學，使得代數方法可以在幾何問題中應用。例如，圓周、橢圓、雙曲線、拋物線等古希臘人就開始研究的幾何對象有很簡單的代數描述。

解析幾何學促進了微積分的誕生。由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的這門學問在現代科學中的重要性是不用贅述的。將微積分應用于幾何問題的研究就是所謂微分幾何。最初研究的是三維空間中的曲線、曲面。高斯于1827年寫的那本50頁左右的小書，研究曲面的微分幾何，包括大學學的微分幾何的主要內容。這本書標志著微分幾何學的誕生。高斯當時主持一項土地測量的項目，他寫這本書是為了給這項工作提供一個理論基礎。

同高斯一樣，黎曼工作的主要領域也不是幾何學，而是單復變函數，但他是現代微分幾何與解析數論的創(chuàng)始人。在他為取得大學教授資格的公開講演中，黎曼提出了微分幾何學發(fā)展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。簡單的說，就是用局部坐標和坐標變換來描述一個空間，用Riemann度量做最基本的幾何量，空間的幾何性質如彎曲程度由度量用特定方式決定。

在我國，陳省身先生是20世紀重要的微分幾何學家，被譽為“微分幾何之父”。陳省身先生二十世紀三十年代在清華大學數學系讀碩士，抗日戰(zhàn)爭中在西南聯大任教授,后回南開大學。陳省身先生的工作建立了流形的局部幾何性質與整體的拓撲性質的關系。他引進的陳示性類是幾何學發(fā)展的一個里程碑，以后的重要進展無不建立在其基礎上，例如高維Riemann-Roch定理、指標理論等等。陳先生1984年度的Wolf獎的證書上寫到：“他在整體微分幾何上的卓越成就，其影響遍及整個數學。”