君子居則貴左，用兵則貴右^注釋(1)

——老子《道德經(jīng)》

摘要  左右是個(gè)常見的源自日常生活的科學(xué)概念。英文物理文獻(xiàn)中同左右之分有關(guān)的概念有 handedness，helicity，spirality，chirality和 parity，且關(guān)于左（left，link，gauche，sinister，nigh )、右（right，recht，droit，dexterous）的寫法也是多樣并存的局面。左右的對(duì)稱性及其破缺在自然界得到了最廣泛的表現(xiàn)。

有一種感覺，對(duì)事物的描述時(shí)常會(huì)用到貼近生活的概念或者形象，以便更多的人能夠輕松地理解。不管是嚴(yán)酷的政治還是嚴(yán)格的自然科學(xué)，至少是到目前為止還都在遵循著這樣的習(xí)慣。不過，很快我們會(huì)明白，貼近生活的概念如果被應(yīng)用到太多不同的語境中，那么對(duì)其理解可能會(huì)變得不那么輕松。一個(gè)隨“手”拈來的例子就是左、右的概念。

小時(shí)候（上世紀(jì)七十年代）念書，那時(shí)候在窮鄉(xiāng)僻壤能見到的就那么幾本書，常常遇到一些跟左右有關(guān)的概念，比如“左傾冒險(xiǎn)主義”、“左傾盲動(dòng)主義”、“左傾機(jī)會(huì)主義”， 以及“右傾機(jī)會(huì)主義”、“右傾投降主義”，“右傾分裂主義”（毛澤東《實(shí)踐論》，1937），等等。機(jī)會(huì)主義有左有右，有些人還竟然形左實(shí)右、假左真右，那么到底哪樣是左，哪樣是右，實(shí)在不是我們這些鄉(xiāng)下窮孩子掰手指頭能分清楚的。及至稍大一點(diǎn)學(xué)物理，又遇到了什么左手感應(yīng)定則，右手螺旋定則，再后來又有了螺旋性（helicity還是spirality？）、手性（handedness還是chirality）、 polarization^注釋(2)和宇稱（parity），更是覺得這些關(guān)于左右的概念還真是個(gè)嚴(yán)肅的問題。

日常生活的左右，來自我們有兩只手的事實(shí)。這兩只手之間的關(guān)系，其實(shí)是相當(dāng)微妙的。把兩只手相對(duì)疊在一起，大致能重合，但是靠轉(zhuǎn)動(dòng)和平移不能讓兩只手重合，于是左右手被稱為是鏡面對(duì)稱的。這說的是手的外觀。其實(shí)我們知道我們兩只手是很不一樣的，大部分人的右手更有力、更靈活；左手靈活有力的人被當(dāng)作另類，被稱為左撇子。可見左右又是不對(duì)等的。對(duì)等、對(duì)稱與否，要看著眼點(diǎn)在哪里，不過左右可用作一些二元體系或性質(zhì)的標(biāo)簽 (tagging)，則是無疑的。

政治上左右派或者左右翼的說法源于大革命前的法國。1789年，法國國民大會(huì)成立，開始掌管國家事務(wù)。國民大會(huì)開會(huì)時(shí)，貴族成員坐在大廳的右側(cè)，觀點(diǎn)偏保守；革命者成員坐在大廳的左側(cè)，觀點(diǎn)偏自由。兩派觀點(diǎn)分明，遂有左翼、右翼的分別。不過，細(xì)心的讀者可能注意到，閱讀相關(guān)的史料很難弄清楚那議事房到底哪邊算右，哪邊算左，因?yàn)閺那翱催€是從后看，這左右可是調(diào)過來的。這是理解左右概念的關(guān)鍵處，值得關(guān)注。

左、右，相應(yīng)的英文為 left/right，德語為 link/recht，法語 gauche/droit，拉丁語 sinister/dexter，在英文文獻(xiàn)中都可能遇到。在這些詞匯所寄生的文化中，左右又都有第二層含意（a secondary layer of meanings）。Right常意味著正確、正義、正當(dāng)?shù)?、靈活的，而left意味著不吉祥的、險(xiǎn)惡的、邪惡的、笨拙的^注釋(3)，等等。這兩層意思交疊在一起，當(dāng)然會(huì)引起一些誤解^注釋(4)。當(dāng)然，在科學(xué)文獻(xiàn)中， 左右的概念應(yīng)該是清晰的。

各種文化中左右概念的差別，源于人類左右手之間在靈活性、力度等方面的差別。左右概念在不同文化中的意義延伸，有區(qū)別，但更具相通的地方。中國人認(rèn)為左的不正，處于低級(jí)的地位， 所以說“旁門左道”，“輔佐”；右為正，地位高，所以說“一時(shí)無人能出其右”，“天佑之”，等等。南亞一些地方，左手是拿來專門做齷齪事的，右手專門用來拿吃的，右手被認(rèn)為是潔凈的！在這個(gè)地方左右手用法不對(duì)，可能會(huì)引起麻煩。西方人也以右為正，所以右總是具有褒義，如“at right place, with right people, doing right things（在正確的地方和合適的人一些做正當(dāng)?shù)氖虑椋?/span>^注釋(5)”。在Michaelangelo 的名畫《創(chuàng)造亞當(dāng)》中，上帝通過將右手食指碰觸亞當(dāng)左手的食指而賦予后者以生命（圖3）。

圖3. 油畫創(chuàng)造亞當(dāng)（The Creation of Adam，Michaelangelo）

英文文獻(xiàn)中提及左右多種語言混用，可能不太容易察覺。英文的 left，right就是來自德語的link，recht，在左旋的表達(dá)之一 levorotatory 中還能看到link影子。法語的左，gauche, 在英語中意味著 lacking grace, esp. social grace；awkward；tactless，即不優(yōu)雅，糟糕。好像還有脾氣古怪，不合群的意思，比如 “He （von Neumann）was somewhat gauche and not quite the type of 'leader’ 〔他（馮.諾依曼）有點(diǎn)不合群，不是那種領(lǐng)袖類的人物〕”。法語的右（droit）也出現(xiàn)在英文中，取權(quán)利、法律層面的意義。Droit使用形式之一是 adroit，取從容、靈活之意，如 adroit handling of an awkward situation（靈活掌控糟糕局面）。另一個(gè)詞為 maladroit，mal+adroit，意思是糟糕、笨拙（awkward, clumsy）。這容易讓人想起漢語的不正即是歪。源自拉丁（希臘）語的左右后面再說。

一些性質(zhì)有二值特征（圖4），可以用左右來加以區(qū)別，此即為手性（手征），英文為handedness。Handedness在日常英語中指左右手在力度、靈活性方面的偏頗。一般人的右手更好使（dexterous。拉丁語，本意是右側(cè)的。名詞dexterity有些詞典里干脆就說是靈活性），屬于right-handed，希臘語為δεξι?χειρα?（dexterous＋chiral, right-handed）。也有一些人左手更好使一些，left-handed (αριστε?χειρα?)。還有人左右手都好使，這是ambidexterous (兩手皆右)。左右手都行，那能耐可就大了，中文里有“左右局面”的說法也許就是這個(gè)道理。有人兩手都挺靈活，不過能干的事情各有不同，這稱為mixed-handedness。兩手都不好使的那叫 ambisinister 或者 ambilevous (兩手皆左)。這時(shí)的 handedness 和 chirality （手性, 來自希臘語的手，χειρ, χ?ρι）, laterality（側(cè)重）同義。人類兩手不對(duì)等，也許是故意打破左右對(duì)稱性的。進(jìn)化會(huì)強(qiáng)化動(dòng)物占優(yōu)勢(shì)的行為，而淘汰居于劣勢(shì)的特點(diǎn)。人類保持一部分“左撇子”，一定有它的道理，或者進(jìn)化不同層次上有很多的破缺機(jī)制在起作用吧。 

自然界中二值特征很普遍，因此handedness是個(gè)非常重要的概念。首先遇到這個(gè)概念是在中學(xué)物理課上，關(guān)于電磁學(xué)一些現(xiàn)象的描述會(huì)用到手性的概念。學(xué)生們不明白，是因?yàn)闀餂]寫明白。我們生活在三維空間中，需要三個(gè)線性不相關(guān)的矢量才能完備地描述空間中的幾何關(guān)系。兩個(gè)非共線的矢量可以決定一個(gè)平面，若這個(gè)平面也要加上方向標(biāo)簽的話，則有兩種可能。由此，我們明白了矢量叉乘的奧義，和正好是用順序給矢量叉乘的兩種可能貼上了標(biāo)簽，且有。對(duì)矢量叉乘結(jié)果之方向的約定，沿用的是右手定則，即將右手拇指直立，其它四指沿從到的方向彎曲，則拇指所指方向?yàn)?sub style="color: rgb(63, 63, 63);white-space: normal;">的方向。高中電磁學(xué)中學(xué)到的右手螺旋定則實(shí)際反應(yīng)的是Biot－Savart定理，即，此處是磁場(chǎng)，包含矢量叉乘的事實(shí)^注釋(6)。而左手定則涉及的是通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中的受力，因?yàn)殡姾稍诖艌?chǎng)中的力由Lorentz公式F=qv×B給出，而在金屬中造成電流的是電子，帶負(fù)電荷，因此就方向來說，，所以遵循左手定則（圖5）。這里的左手定則和右手定則，英文為 left-hand rule和 right-hand rule。

描述電磁波也是用到右手定則的一個(gè)地方：電磁波的電矢量、磁矢量和傳播方向（Poynting矢量）構(gòu)成右手定則的關(guān)系，電磁波沿方向傳播。在一般的材料中，電磁波的電矢量、磁矢量和傳播方向滿足右手定則（form a right-handed system）。光從真空進(jìn)入這樣的材料，入射方向和出射方向在法線的兩側(cè)（圖6）。1967年，Veselago理論上研究了具有負(fù)折射率的材料，其后在1996年前后具有負(fù)折射率的結(jié)構(gòu)被制造出來^{[1, 2]}。這種光學(xué)材料被稱為左手性材料 (left-handed materials)。光從真空進(jìn)入這樣的材料，入射方向和出射方向在法線的同側(cè)（圖6）手性材料（chiral material）是近年得到關(guān)注的 metamaterial（日后會(huì)另文介紹）之一。

圖6. 光在正常材料（左圖）和左手性材料（右圖）表面上的折射

電磁學(xué)意義上的 handedness，除了電矢量、磁矢量和 Poyting矢量之間的右手定則，它的另一個(gè)意義是同 polarization相聯(lián)系的，這時(shí)的描述可以用helicity (螺旋性) 這個(gè)詞。電磁波的偏振 (polarization) 可用電場(chǎng)矢量在(x,y)平面上的變化表示。采用Jones矢量形式，一束光波可表示為 ，偏振態(tài)取決于兩個(gè)分量模的相對(duì)大小（由參數(shù)θ決定）和相位差α₀。若分量的模相等 (θ=π/4)，且相位差為α₀=π/2，則和分別為左旋圓偏光和右旋圓偏光，英文為 left-handed (right-handed) circularly polarized light。當(dāng)然也可以用逆時(shí)針和順時(shí)針來貼標(biāo)簽。

偏振光通過一些介質(zhì)如石英晶體時(shí)偏振面會(huì)偏轉(zhuǎn), 這是旋光 (optical rotation) 效應(yīng)；當(dāng)然，造成的偏振面偏轉(zhuǎn)有逆時(shí)針和順時(shí)針方向兩種可能性，因此這旋光晶體就分為左旋光的（levorotatory）和右旋光的（dextrorotary）。在植物學(xué)上，一些植物器官如卷須也被標(biāo)記為左旋的和右旋的，不過用詞為sinistrorse和dextrorse。左旋糖（levulose）, 右旋糖（dextrose）, 和左旋形式（laevo-form）, 右旋形式（dextro-form）這些詞中都是用的拉丁語詞頭。Sinistrodextral 意思是從左到右。

在一些書本中，光波的偏振和光子的偏振的說法都有。光子的角動(dòng)量為  （單位Planck常數(shù)），但因?yàn)槭菬o質(zhì)量粒子的原因，它只有兩個(gè)（［＋1，-1］）而不是三個(gè)（［+1，0，-1］）角動(dòng)量分量，因此可以用手性（這里是 helicity，漢譯螺旋性）描述，即光子具有左旋和右旋兩種狀態(tài)，對(duì)應(yīng) helicity 的本征值分別為1和-1。1924年，玻色證明若光子的能量簡并度為2，則從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)能導(dǎo)出Bose－Einstein分布。光束的偏振態(tài)和光子的手性（helicity）之間是什么關(guān)系，筆者一直沒弄明白，不敢妄言。

與光子相似，中微子也有 helicity。中微子的哈密頓量為，算符明顯和哈密頓量對(duì)易，是守恒量，且本征值為±1，因此可作為中微子的helicity算符。我們知道，helicity和觀測(cè)方向有關(guān)，如果中微子是有靜止質(zhì)量的，則其速度低于光速，就存在從前面和后面觀察一個(gè)中微子螺旋性的理論可能，那么一個(gè)中微子的螺旋性就會(huì)隨著觀察者角度不同在＋1和－1 之間變換。也就是說，中微子螺旋性是否反轉(zhuǎn)，是同中微子是否具有靜質(zhì)量相關(guān)聯(lián)的^[3]當(dāng)然，這樣來看螺旋性也和中微子的速度（最近所謂的中微子超光速測(cè)量引起了一些討論）表達(dá)有關(guān)^[4]。趕上中微子的接近光速以看到中微子的螺旋性反轉(zhuǎn)是不可能的，但如果中微子是它自己的反粒子，則間接測(cè)量有可能。

對(duì)自旋1／2粒子來說，螺旋性（helicity）和 手性（chirality） 是不同的兩個(gè)性質(zhì)。螺旋性是粒子自旋在動(dòng)量方向上的投影，即上文的 ；而手性是四分量Dirac 旋量在粒子波函數(shù)之和或差之上的投影， 由專門的手性算符表示。對(duì)于反中微子，手性和螺旋性的本征值是相反的。  

上文提到的helicity，源自helix，漢譯螺旋、螺線。但英文的helix和spiral中文有時(shí)都會(huì)隨意地被稱為螺旋，它們之間是有差別的。柱狀彈簧那樣的結(jié)構(gòu)是helix。所謂的DNA雙螺旋結(jié)構(gòu) (double helix)，就是這樣的形象 (圖7)。Helix 可以由帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)描述，注意到Lorentz力的形式，粒子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可分解為平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)和所決定的勻速直線運(yùn)動(dòng)，而和是同向還是逆向就決定了運(yùn)動(dòng)造成的螺線的兩種helicity，。

圖7. 螺旋helix的數(shù)學(xué)形象與DNA雙螺旋 (double)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)上 spiral 是從一點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)著漸行漸遠(yuǎn)的曲線，spiral 作為動(dòng)詞就是盤旋的意思。大自然中生長的許多事物，從大的星系，小到一個(gè)蝸牛甚至微米大小的自組裝點(diǎn)陣^{[5, 6]}，都可能表現(xiàn)出 spiral 結(jié)構(gòu)（圖8）。在三維空間中存在的近一維（線狀的）和近二維（帶狀的）物體，低維結(jié)構(gòu)占據(jù)高維空間，折疊 （folding）或者卷曲是必然，甚至是生存的智慧（不彎腰，易折斷呀）（圖9）。Folding, spiral 以及圖5中的double helix, 都因此獲得了一定的剛性，增加了存在下去的可能。這一點(diǎn)，好像沒得到充分的認(rèn)識(shí)。

圖9. 卷曲成螺旋，一種存在的智慧。左圖：粒子徑跡；右圖：植物的卷須。

一個(gè)單純的spiral可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的。一個(gè)平面上的spiral其實(shí)無所謂順時(shí)針還是逆時(shí)針的，因?yàn)閾Q到另一側(cè)看順時(shí)針就變成了逆時(shí)針的。一些蝸牛身形是關(guān)于平面對(duì)稱的，它們的螺線本質(zhì)上是二維的，所以無所謂其螺線是順時(shí)針還是逆時(shí)針的, 左旋的還是右旋的（圖8）。具有錐形 spiral 外觀的蝸牛就不一樣了，它的螺旋性具有了絕對(duì)的意義（圖10）。按說，η=±1兩種螺旋性是對(duì)稱的，沒什么差別，蝸牛應(yīng)該左旋、右旋各半才對(duì)，而實(shí)際情況是一種蝸牛大多只有一種螺旋性，不同種的蝸牛會(huì)兩種螺旋性都有。什么使得螺旋對(duì)稱性破缺了呢？有趣的是破缺機(jī)制不在生長層面之下，而在其上。不同手性的蝸牛的器官是鏡面對(duì)稱的，這使得不同手性的個(gè)體之間的生殖力學(xué)變得艱難。這樣經(jīng)過自然選擇以后，一種蝸牛就差不多剩下一種螺旋性了。如果是植物的話，就沒這個(gè)問題。與動(dòng)物不同，植物的生殖行為不會(huì)受其個(gè)體對(duì)稱性（matching的需求）影響，因此其左旋和右旋出現(xiàn)幾率各半，如松果的斜列螺旋（圖11）和微納米自組裝的斜列螺旋^[6]。

斜列螺旋，即parastichous spirals，這是一種同F(xiàn)ibonacci數(shù)列（1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……）相聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)由分立的單元如向日葵的種子，雛菊的小花 (floret)，菠蘿、松果的鱗片等構(gòu)成。它們既可看成是一組順時(shí)針的螺旋，又可以看作是一組逆時(shí)針的螺旋，因此是parastichous spirals。這樣的螺旋結(jié)構(gòu)，螺旋數(shù)必須是Fibonacci數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)，如5和8，可以記為5×8。若5×8表示順時(shí)針螺旋數(shù)為5，逆時(shí)針的螺旋數(shù)為8，則8×5表示順時(shí)針螺旋數(shù)為8，逆時(shí)針的螺旋數(shù)為5。若將5×8的花樣標(biāo)記為左旋的，則8×5的花樣為右旋的；當(dāng)然，也可以反過來。這就說，這也是一類有手性的結(jié)構(gòu)。目前關(guān)于parastichous spirals哪樣算左旋的，哪樣算右旋的，沒有定論。對(duì)于微納米結(jié)構(gòu)和植物，這樣的左旋和右旋之間沒有區(qū)別，因此從種群的角度看會(huì)以大致各半的幾率出現(xiàn)。但是對(duì)于一個(gè)具體的菠蘿，向日葵，或者應(yīng)力花樣，它們可不會(huì)像量子存在那樣取兩種狀態(tài)的疊加；必須作二選一的抉擇。到底是什么原因決定了它選擇了兩種手性結(jié)構(gòu)之一，即what tips the chirality，還一直是個(gè)謎。在粒子物理、手性分子合成、手性晶體生長方面，研究者都會(huì)問這個(gè)問題^[8-11]?？梢钥隙ǖ氖?，是在生長單元或者更低一點(diǎn)的層次上的一些難以控制的偶然性因素決定了生成物左旋的或右旋的形式。這種情形和量子力學(xué)的隱變量（hidden variable）理論有些共通的地方。

用chirality表示的手性，是非常普遍的概念，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物中都能見到（圖12）。數(shù)學(xué)上有專門的手性代數(shù) (chiral algebra)^[12]。Chiral algebra源于數(shù)學(xué)物理，是共形場(chǎng)論的核心。手性代數(shù)研究的對(duì)象是量子的，相應(yīng)的經(jīng)典對(duì)象稱為Coisson代數(shù)，由經(jīng)典場(chǎng)空間上的局域泊松括號(hào)定義。在化學(xué)領(lǐng)域，存在許多分子的或晶體的結(jié)構(gòu)，其不等同于它們的鏡象，因而是手性的。雖說左右旋的分子結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，但在環(huán)境中它們和其它物質(zhì)間的相互作用可能是不同的 （人體偏好用右旋糖），因此有必要給這些物質(zhì)貼上明顯的手性標(biāo)簽，如左旋肉堿，右旋葡萄糖等。手性結(jié)構(gòu)的研究在化學(xué)和生物化學(xué)方面具有重要的地位， 2001年度的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)就授予給了這個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家。

手性問題曾在物理學(xué)史上寫下了重重的一筆。有文獻(xiàn)指出手征性是弱相互作用的特征。不過弱相互作用里面提到的粒子遵循的對(duì)稱性是宇稱守恒, 宇稱（parity）的本征值為±1，這一點(diǎn)和helicity，chirality一樣。但是，parity涉及的是粒子波函數(shù)的時(shí)空變換，，即兩次宇稱變換給波函數(shù)最多帶來一個(gè)相位上的改變，從這一點(diǎn)來看，它和helicity, chirality還是有區(qū)別的。1954－1956年間，出現(xiàn)了θ-τ之謎，其實(shí)θ，τ是同一種粒子，但是它衰變成不同數(shù)目的π粒子，θ→π+π, τ→π+π+π ^注釋(8)，這里兩個(gè)π的宇稱是＋1，三個(gè)π的是－1。宇稱不守恒了。1956年，李楊提出弱相互作用宇稱不守恒的設(shè)想，后來為吳健雄女士于1957年用Co60的β-衰變實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。宇稱不守恒的提法，對(duì)物理學(xué)家的沖擊是非常大的。Pauli堅(jiān)持時(shí)空對(duì)稱性，他在寫給Weisskopf 的信中寫到^[12]：“我不相信上帝是一個(gè)軟弱的左撇子，我可以跟任何人打賭，做出來的結(jié)果（電子的角動(dòng)量分布）一定是左右對(duì)稱的。我看不出相互作用的強(qiáng)度和鏡面對(duì)稱性之間有什么邏輯聯(lián)系?！?Pauli堅(jiān)信時(shí)空對(duì)稱性，讓人想起B(yǎng)uridan的驢子^注釋(9)?？蓱z的Buridan的驢子（圖13），因?yàn)槊媲暗牟萘戏胖镁哂袊?yán)格的宇稱，它無法決定從哪里下口，竟然只能挨餓（其實(shí)一旦它決定了從哪里下口，就能給草料帶來對(duì)稱破缺）。所幸的是，大自然不是Buridan的驢子，它允許對(duì)稱的破缺，從而表現(xiàn)出驚人的多樣性^注釋(10)。 或者，也許就不存在對(duì)稱性，就像不存在數(shù)學(xué)的圓一樣。用數(shù)學(xué)的理想的概念束縛了對(duì)自然的理解， 算是一種作繭自縛（自然可以不受人類所提煉的自然規(guī)律的約束吧?。?/span>。標(biāo)準(zhǔn)模型通過把弱相互作用表達(dá)為手性規(guī)范作用從而納入了宇稱不守恒。據(jù)信超弦理論在找到Calabi-Yau緊致化后，可以具備手征性，筆者不懂，恕不多言。

本文討論了和手之左右有關(guān)的一些概念如 handedness，chirality，helicity和parity，也給出了一些英文文獻(xiàn)中左右的不同寫法，希望有助于讀者。限于水平，不足之處甚多。比如“the nigh horse”中的nigh，除了表示“時(shí)空上的近”以外，它還有“on the left”的意思，不知和它對(duì)應(yīng)的“on the right”是哪個(gè)詞，盼有識(shí)者告知。

1、關(guān)于光子的自旋和光束的偏振之間的關(guān)系，諾貝爾獎(jiǎng)得主Wilczek的一段話（F. Wilczek, Fantastic Realities, World Scientific 2006. p.161）或許有助于大家對(duì)此問題的認(rèn)識(shí).原文照抄如下：

“First, if light is to be made of particles, then they must be very peculiar particles, with internal structure, for light can be polarized. To do justice to this property of light, its particles must have some corresponding property. There can’t be an adequate description of a light beam specifying only that it is composed of so-and-so many photons with such-and-such energies; those facts will tell us how bright the beam is, and what colors it contains, but not how it is polarized. To get a complete description, one must also be able to say which way the beam is polarized, and this means that each photon must somehow carry around an arrow that allows it to keep a record of the light’s polarity. This would seem to take us away from the traditional ideal of elementary particles. If there’s an arrow, what’s it made of ? And why can’t it be separated from the particle? ”

2、Buridan的驢子遭遇的對(duì)稱性困境，可以由以下機(jī)制打破：（1）來了一陣風(fēng)，把草料吹得不對(duì)稱了，這相當(dāng)于引入一個(gè)不對(duì)稱的外部相互作用；（2）草料自己變得不對(duì)稱了（草料自己急瘋了），這相當(dāng)于自發(fā)對(duì)稱破缺（spontaneous symmetry-breaking)；（3）驢子認(rèn)識(shí)到了把兩堆草料當(dāng)成對(duì)稱的，太過理想化了些，分明左邊草堆里有顆草同右邊對(duì)應(yīng)的一棵草在長度上差了個(gè)玻爾半徑嗎；（4）驢子隨便咬一口，草料立馬就不對(duì)稱了，這相當(dāng)于模擬計(jì)算時(shí)計(jì)算者put-by-hand的隨機(jī)驅(qū)動(dòng)。

3. 野史上說，宋朝的楊繼業(yè)令公和王子明令公兩家交好，楊家要把楊家的閨女許配給王家的公子王英，讓王英自己從楊家的八姐、九妹中挑一個(gè)。這就讓王英陷入了Buridan的驢子的困境。王英沒辦法，就放棄了選擇，做了楊家的干兒子，楊家的八姐、九妹也因此終生未嫁。倘若有對(duì)稱自發(fā)破缺機(jī)制，或許故事不該這么悲切。其實(shí)，對(duì)稱自發(fā)破缺算個(gè)什么機(jī)制，實(shí)在沒轍了的時(shí)候的一個(gè)遁詞而已, 是Buridan的驢子在貴州的表親的無奈！也許根本就沒有那么個(gè)理論意義上的對(duì)稱性，對(duì)稱性只是個(gè)idealisation per Nous（思維理想化）而已。筆者持這種觀點(diǎn)，是因?yàn)橄嘈糯笞匀徊粫?huì)為難自己。 

4、關(guān)于左右對(duì)稱破缺，有個(gè)說川軍的笑話或許有助于理解這個(gè)問題。當(dāng)年川軍訓(xùn)練，軍官喊一二一不好使，因?yàn)橐烟?hào)令'一’落在左腳，士兵們分不清左右。于是軍官想了一個(gè)辦法，讓每個(gè)士兵左腳穿草鞋右腳穿布鞋，口號(hào)也變成了：草孩（鞋）布孩（鞋）、草孩布孩……。左右不對(duì)稱了，問題就解決了。