34：轅門射戟 - 定點(diǎn)問題

在圓錐曲線問題中,經(jīng)?？疾檫^圓錐曲線C上的一點(diǎn),引出兩條直線,分別是兩直線與C的交點(diǎn),當(dāng)時,直線恒過定點(diǎn),這樣的問題我們稱之為直角弦過定點(diǎn)問題.

根據(jù)圓錐曲線C的不同橢圓,雙曲線和拋物線,有三種不同類型的過定點(diǎn):

(1)橢圓的直角弦:在橢圓上任取一點(diǎn),過作兩條互相垂直的弦,則直線恒過定點(diǎn)

(2)雙曲線的直角弦:在雙曲線上任取一點(diǎn),過作兩條互相垂直的弦,則直線恒過定點(diǎn)

(3)拋物線的直角弦:在拋物線上任取一點(diǎn),過作兩條互相垂直的弦,則直線恒過定點(diǎn)

既然證明直線過定點(diǎn),所以我們的目標(biāo)是求出直線的方程——兩種思路:一是直接設(shè)出方程利用關(guān)系找與的關(guān)系,二是利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出的方程。

思路一:設(shè)的方程為,與橢圓聯(lián)立,設(shè),利用韋達(dá)定理可得,從而得到:,

根據(jù),即,整理得:

代入上式,從而能夠得到找與的關(guān)系,進(jìn)而得到直線的過定點(diǎn);

思路二:設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理可得到,從而求出點(diǎn)的坐標(biāo);同理求出點(diǎn)的坐標(biāo),求出,寫出直線的方程,最后得定點(diǎn)。(此方法運(yùn)算量大,處理起來很難)

在解題時，我們可以根據(jù)這些定點(diǎn)坐標(biāo)公式來檢驗(yàn)我們計(jì)算的結(jié)果是否正確。

(2020·山東·22)已知橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程:

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

【答案】見解析

【解析】(1)由題意可得:,解得:,

故橢圓方程為:.

(2)設(shè)點(diǎn).

因?yàn)锳M⊥AN,∴,即,①

當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)方程為,如圖1.

代入橢圓方程消去并整理得:,

 ②,

根據(jù),代入①整理可得:

將②代入,,

整理化簡得,

∵不在直線上,∴,

∴,于是MN的方程為,

所以直線過定點(diǎn).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得,如圖2.

代入得,

結(jié)合,解得,,

此時直線MN過點(diǎn),

由于AE為定值,且△ADE為直角三角形,AE為斜邊,

所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值(AE長度的一半).

由于,故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.

故存在點(diǎn),使得|DQ|為定值.

1.過上一點(diǎn),作兩條射線交拋物線于兩點(diǎn),且,證明:直線恒過一定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

2.（2014年遼寧理科20）圓的切線與軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為（如圖），雙曲線過點(diǎn)且離心率為.

（1）求的方程；

（2）橢圓過點(diǎn)且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求的方程.