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1、弦切角： 如圖1，頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角,，為弦切角。 2、弦切角定理：弦切角，等于它所夾的弧AB所對的圓周角。如圖2，∠BAC為弦切角，弧AB為其所夾的弧，則有：∠BAC=∠BAD=∠BEA。 簡證：∠BAC+∠BAD=90°------① ∠BDA+∠BAD=90°------② ①-②得：∠BAC=∠BDA。 若圖中出現(xiàn)的是∠AEB這種情況呢？則構造以直徑為斜邊、弦為一直角邊的直角三角形來證明，然后利用圓周角定理說明相等即可。 性質推論①：弦切角，等于它所夾的弧AB所對的圓心角的一半。 性質推論②：兩個弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角相等。 【提煉升華】在圓中，如果出現(xiàn)了切線和經(jīng)過切點的割線，則必存在弦切角。 3、切割線定理：從圓外一點，引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段的比例中項。 如圖3：PA與圓相切，PC與圓相交于B、C兩點，則有：PB:PA=PA:PC。變型得：PA2=PB×PC。 簡證：如圖4，連接AB、AC，則根據(jù)弦切角定理，易證△APB∽△CPA，從而易得PB:PA=PA:PC。 切割線定理的推論：從圓外一點，引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如圖5，PB交圓O于A、B兩點，PD交圓O于C、D兩點，則有： PA×PB=PC×PD。 【補充】若擔心直接用弦切角定理老師不給分，則可以簡單證明∠BAP=∠BCA，證法如下：如圖6，連接OA，作OE⊥AB于E，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理，易得∠EOA=∠ACB；根據(jù)切線的性質和直角△角度的互余關系，易得∠BAP=∠EOA。故∠BAP=∠ACP。 這兩個定理，初數(shù)人教版并沒有給出，但試題中又會涉及到，所以，補充學習，十分必要。接下來，我們看幾個中考題。 【題1】（2017·烏魯木齊）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于D． （1）求證：△ADC∽△CDB； （2）若AC=2，AB=1.5CD，求⊙O半徑． 【簡析】（1）法一：直接用弦切角定理，秒得∠BCD=∠CAD。又因為∠D為公共角，故得證。 法二：由圖可得∠BCD為弦切角，我們可以采取弦切角定理的證法來推導角度相等。過程如下：連OC，如下圖，根據(jù)切線的性質和直徑所對圓周角的性質，易證∠BCD=∠CAD；又因為∠D為公共角，故△ADC∽△CDB。 （2）設CD=4m，則AB=6m，OC=OB=3m。 由勾股定理得：OD=5m。 所以：BD=OD -BO=2m 由（1）得：△ADC∽△CDB 故有：BD：CD=BC：CA，代入解的：BC=1。根據(jù)勾股定理，便可求出直徑。 【題2】（2017·恩施州）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，過點C的切線與EB的延長線交于點P，連接BC． （1）求證：BC平分∠ABP； （2）求證：PC2=PB·PE； （3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半徑． 【簡析】（1）因為BE∥CD，所以∠PBC=∠OCB -------① 因為OB=OC，所以∠OBC=∠OCB -------② 聯(lián)立①②得，∠PBC=∠OBC。得證。 （2）典型的切割線定理題。連接CE，直接用弦切角定理，便可以證相似。根據(jù)“等積變等比，等比找相似”的思想的逆思想，便可以證得結果。 連接AC，CE。易證∠CAB=∠CEB=∠BCP。又因為∠P=∠P，故有△BPC∽△CPE。根據(jù)相似三角形的相似比，便可推導出結果。 （3）結合第（2）問的結果，利用方程思想便可解決。 弦切角這個基本圖形，在圓周四處可見。我們來看幾個題吧！ 【題1】（2017·鄂州）如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點，⊙O的切線MA與FB的延長線交于點M；P為AM上一點，PB的延長線交⊙O于點C，D為BC上一點且PA=PD，AD的延長線交⊙O于點E． （1）求證：弧BE=弧CE； （2）若ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，求BE的長； （3）若MA=6√2，sin∠AMF=1/3，求AB的長． 【題2】（2017·天門）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB． （1）求證：CE=CB； （2）若AC=2√5，CE=√5，求AE的長． 【題3】（2018·黃岡）如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C． （1）求證：∠CBP=∠ADB． （2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長． |
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