第6題

（2018春·順義區(qū)期末）在正方形ABCD的內(nèi)側(cè)作直線BM，點C關(guān)于BM的對稱點為E，直線BM與EA的延長線交于點F，連接BE、CE、CF．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：CF⊥EF；

（3）直接寫出線段AB、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系．

【熱門考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；作圖﹣軸對稱變換．

【解題思路】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）利用輔助圓，證明∠FEC

∠ABC＝45°即可解決問題；

（3）結(jié)論：EF²+AF²＝2AB²．利用勾股定理即可解決問題；

【解答】解：（1）圖形如圖1中所示：

【解題技巧】本題考查了作圖﹣軸對稱變換、正方形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．

第7題

（2016秋·自貢期末）在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖1中，若C是∠MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON上截取OB＝OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，參考上面的方法，解答下列問題：

如圖2，在非等邊△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，且AD，CE交于點F，求證：AC＝AE+CD．

【熱門考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】在AC上截取AG＝AE，連接FG，根據(jù)“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AFE＝∠AFG，全等三角形對應邊相等可得FE＝FG，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3＝60°，從而得到∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°，然后根據(jù)平角等于180°推出∠CFG＝60°，然后利用“角邊角”證明△CFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FG＝FD，從而得證．

【解答】證明：如圖，在AC上截取AG＝AE，連接FG．

∵AD是∠BAC的平分線，CE是∠BCA的平分線，

∴∠1＝∠2，3＝∠4

在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴∠AFE＝∠AFG，

∵∠B＝60°

∴∠BAC+∠ACB＝120°，

∴∠2+∠3

（∠BAC+∠ACB）＝60°，

∵∠AFE＝∠2+∠3，

∴∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60，

∴∠CFG＝180°﹣∠CFD﹣∠AFG＝60°，

∴∠CFD＝∠CFG，

【解題技巧】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，根據(jù)所求角度正好等于60°得到角相等是解題的關(guān)鍵．

第8題

（2019·福州模擬）（1）已知，如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，求證：DE＝BD+CE．

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意鈍角，請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明：若不成立，請說明理由．

【熱門考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，

則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，則∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

【解題技巧】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解題關(guān)鍵．

第9題

（2018秋·臨洮縣期末）如圖：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

（1）求證：MN＝AM+BN．

（2）若過點C在△ABC內(nèi)作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請說明理由．

【熱門考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）利用互余關(guān)系證明∠MAC＝∠NCB，又∠AMC＝∠CNB＝90°，AC＝BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM＝CN，MC＝BN，利用線段的和差關(guān)系證明結(jié)論；

（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM＝CN，MC＝BN，可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【解答】證明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC＝∠CNB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，

∴∠MAC＝∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC＝∠CNB，

∠MAC＝∠NCB，

AC＝CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM＝CN，MC＝NB，

∵MN＝NC+CM，

∴MN＝AM+BN；

（2）結(jié)論：MN＝BN﹣AM．

∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC＝∠CNB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，

∴∠MAC＝∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC＝∠CNB，

∠MAC＝∠NCB，

AC＝CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM＝CN，MC＝NB，

∵MN＝CM﹣CN，

∴MN＝BN﹣AM．

【解題技巧】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用互余關(guān)系推出對應角相等，證明三角形全等．

第10題

（2019春·嶗山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點D在BC的延長線上，且BD＝AB．過點B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點E．

（1）求證：△ABC≌△BDE；

（2）請找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【熱門考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【解題思路】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，進而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，

∴∠A+∠ABE＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠DBE+∠ABE＝90°，

∴∠A＝∠DBE，

【解題技巧】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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