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（南寧三中   許興華數(shù)學）

如果一個人對數(shù)學思維方法非常感興趣，那這個人一定會天資聰穎、智慧過人！你們相信嗎？有一些人學數(shù)學時有一個致命的毛病，就是“沒有足夠的耐心去看完一篇理論性的數(shù)學文章”。你是這樣的人嗎？那就看看你是否有足夠的耐心來認認真真地研讀完這篇文章了。哈哈！

什么是數(shù)學思維呢？

簡單地說就是，數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象(空間形式、數(shù)量關系、結(jié)構關系)交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學思維具有一般思維的根本特征,但又有自己的個性特征。這主要表現(xiàn)在思維活動的運演方面,它是按照客觀存在的數(shù)學規(guī)律的表現(xiàn)方式進行的,即具有數(shù)學的特點和操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學語言的簡練、準確和數(shù)學形式的符號化、抽象化、結(jié)構化傾向。

從本質(zhì)上來說，數(shù)學學習或研究應該看成是數(shù)學思維過程和數(shù)學思維結(jié)果這二者的有機綜合。因而，也許我們可以說數(shù)學思維是“動”的數(shù)學,而數(shù)學知識本身是“靜”的數(shù)學。數(shù)學知識是數(shù)學思維活動的產(chǎn)物。作為數(shù)學知識體現(xiàn)的數(shù)學科學具有內(nèi)容和表現(xiàn)形式的抽象性、結(jié)論的精確性、推理和結(jié)構的嚴謹?shù)倪壿嬓?以及其結(jié)果在生產(chǎn)、生活和科研領域中廣泛的應用性等特點。但是，在數(shù)學思維過程中,并非與數(shù)學知識的表述一樣,離不開抽象的邏輯思維,而是綜合地、交錯地運用了抽象思維與形象思維以及直覺思維。正是由于各種思維形態(tài)的協(xié)同運用,數(shù)學家們才能具有更靈活的創(chuàng)造性去發(fā)現(xiàn)數(shù)學新知識、解決新問題。

因此,從一般思維的特性和數(shù)學的特點這兩個方面的結(jié)合來分析,就可以得出數(shù)學思維的特性主要是概括性、抽象性和相似性（可類比性）。

    一、數(shù)學思維的概括性

數(shù)學思維的概括性是由于數(shù)學思維能揭示事物之間抽象的形式結(jié)構和數(shù)量關系。這些本質(zhì)特征和規(guī)律,能夠把握一類事物共有的數(shù)學屬性。思維的概括性還在于它的遷移性,就是使主體不僅能從部分事物相互聯(lián)系的事實中推知普遍的與必然的聯(lián)系,而且能將這種聯(lián)系推廣到同類現(xiàn)象中去,即應用已知的數(shù)學關系去解決有關問題。數(shù)學思維的概括性與數(shù)學知識的抽象性是互為表里、互為因果的。概括的水平能夠反映思維活動的速度、廣度和深度、靈活遷移的程度以及創(chuàng)造程度,因此提高主體的數(shù)學概括水平是發(fā)展數(shù)學思維能力的重要標志。

二、數(shù)學思維的抽象性

數(shù)學問題，很多都是需要高度的抽象思維的。下面我們舉的這幾個例子，可能是與高考數(shù)學無關的，但它們能很好地說明“數(shù)學思維的抽象性”。

【例2】如圖5所示，四邊形ABCD是一個直角梯形，而四邊形AECD是一個矩形，試證明：（1）線段DC和線段AE上面的點是一樣多的；

（2）線段DC和線段AB上面的點是一樣多的。

【問題解說】這個第一問的證明，我們的學生絕大多數(shù)都沒有問題，但第（2）問恐怕很多學生就感覺受不了了：這你老師不是明明在騙人嗎？線段AB和CD相比，AB很明顯地比CD 多出了一個線段EB上的無數(shù)個點，為什么AB與CD的點是一樣多的呢？

其實，我們可以這樣理解：如圖6所示，延長AD與BC的延長線相交于點F，在線段AB上任意取一點M，連結(jié)FM，則FM與DC相交于唯一的一點N。反之，在線段DC上任取一點N，則射線FN必與線段AB相交于唯一的一點M.這說明線段DC與線段AB上的點是“一一對應”的。這個一一對應就正好證明了“線段DC和線段AE上面的點是一樣多的”！——這就是數(shù)學高度的抽象性。關于這點好像有很多學生感覺是非常難以理解的。再看一個例子。

有一次，我在《今日頭條》的“微頭條”上面給出了一個挺簡單的“大眾數(shù)學”題目如下：

【例3】試證明：在區(qū)間(0，1)內(nèi)有無窮多個有理數(shù)，也有無窮多個無理數(shù)。

其實，這真的是一個簡單題目，但基礎差的學生竟然無從下手！原因就是，這個題目的證明，需要用到“構造性”的思維方法。

三、數(shù)學思維的相似性

事實上，數(shù)學思維的相似性是普遍存在的,特別是在創(chuàng)造性思維活動中發(fā)揮著極其重要的作用。在數(shù)學科學發(fā)展史上,數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)存在著相似現(xiàn)象。例如牛頓和萊布尼茲幾乎同時獨立地發(fā)現(xiàn)了微分方法。秦九韶和海倫也是先后獨立地發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式。

數(shù)學的發(fā)展就其思維活動的規(guī)律而言,是對各種數(shù)學模式的探求。解決數(shù)學問題的根本思想在于尋求客觀事物的數(shù)學關系和結(jié)構的樣式,從已解決的問題中概括出思維模式,再用模式去處理類似問題。并進而形成新模式,構成相似系列,即各種概念、命題與方法的相似鏈。數(shù)學思維的相似性是對數(shù)學問題之間以及題本身的條件與結(jié)論之間的同與異這個矛盾的分析和轉(zhuǎn)化。因此,相似性是數(shù)學思維的一個重要特性。