小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)路徑微調(diào)的實(shí)踐與思考

浙江省余姚市第一實(shí)驗(yàn)小學(xué) / 朱震緋

有三種邏輯推動(dòng)著教學(xué)的前進(jìn)，它們是：教材的編寫(xiě)邏輯、學(xué)生的探究邏輯、教師的教學(xué)邏輯。理想的狀態(tài)下，這三者之間應(yīng)該是互相重合，形成教育合力的，而現(xiàn)實(shí)并非如此。在更多的時(shí)候，這三種邏輯之間是不重合的。由此，我們可以假設(shè)：如果三者之間的邏輯相符，那么其結(jié)果將是學(xué)生學(xué)得愉快，教師教得開(kāi)心。反之，必定是學(xué)生學(xué)得被動(dòng)，教師教得別扭。進(jìn)一步假設(shè)，當(dāng)三者邏輯不一致時(shí)，我們究竟該讓誰(shuí)去遷就誰(shuí)？

現(xiàn) 狀

單元，是相對(duì)于課時(shí)而言更具有完整性的大教學(xué)單位。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的學(xué)習(xí)與感悟是通過(guò)“單元”的形式呈現(xiàn)和展開(kāi)的。因此，對(duì)于“單元教學(xué)”的研究，歷來(lái)是研究的熱點(diǎn)。

對(duì)近年來(lái)單元教學(xué)的研究進(jìn)行梳理和整合，我發(fā)現(xiàn)有這樣一些觀點(diǎn)值得我們深思。①將單元中不同課時(shí)的作用與價(jià)值分為“起、承、轉(zhuǎn)、合”四個(gè)模塊，讓我們看到了單元內(nèi)部聯(lián)系的重要性；②將單元中的“新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、考查課和講評(píng)課”作為模塊指標(biāo)，進(jìn)行系統(tǒng)研究和教學(xué)設(shè)計(jì)，以解決課型之間割裂、斷層的問(wèn)題等；③基于課堂自然生長(zhǎng)的視角，提出了“種子課——生長(zhǎng)課”的微單元系統(tǒng)與“單元——單元”的超單元系統(tǒng)的教學(xué)體系架構(gòu)；④提出了學(xué)科個(gè)性化教學(xué)單元的構(gòu)想，通過(guò)教學(xué)目標(biāo)的調(diào)整、教學(xué)內(nèi)容的重組、學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)“個(gè)性化教學(xué)”，等等。

若用上文中的三種邏輯去分析，可以發(fā)現(xiàn)上述研究中的有些視角還是停留在教材的編寫(xiě)邏輯上。單元教學(xué)內(nèi)容的“起、承、轉(zhuǎn)、合”關(guān)注的是教材內(nèi)在的“序”；以“課的類(lèi)型”開(kāi)展模塊化的教學(xué)關(guān)注的是形式上的聯(lián)結(jié)。固然，數(shù)學(xué)知識(shí)有其內(nèi)在的嚴(yán)密邏輯，這不容置疑。但我們或許可以換個(gè)角度思考，教材的編寫(xiě)邏輯不等于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯。當(dāng)理想狀態(tài)下的“教材的編寫(xiě)邏輯、學(xué)生的探究邏輯、教師的教學(xué)邏輯”三者不一致，無(wú)法形成教育合力時(shí)，我們可以做什么？

但是，依然有研究激發(fā)了我的靈感：“種子課—生長(zhǎng)課”的微課程系統(tǒng)與“單元—單元”超單元結(jié)構(gòu)體系；促進(jìn)不同水平學(xué)生的基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)達(dá)成的“個(gè)性化教學(xué)”等。這些研究讓我認(rèn)識(shí)到：當(dāng)三種邏輯不合一時(shí)，我們首要考慮的是“學(xué)生的探究邏輯”。

探 索

“單元教學(xué)路徑”是指教師單元教學(xué)時(shí)所采取的教學(xué)邏輯。不用“課時(shí)”的字眼進(jìn)行表述，是避免落入“課時(shí)有毒”的圈兒。因此，借用“路徑”一詞表達(dá)我心中的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)。微調(diào)指的是根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)學(xué)科框架下通過(guò)調(diào)整呈現(xiàn)內(nèi)容的順序、形式，拓展和補(bǔ)充學(xué)習(xí)資源，改變學(xué)習(xí)方式等以改變單元教學(xué)路徑。單元教學(xué)路徑的微調(diào)并非對(duì)原先教學(xué)路徑的否定，而是基于學(xué)生學(xué)情的對(duì)原先路徑的整合與拓展。

1.基于生長(zhǎng)連續(xù)性的內(nèi)容重組

人教版四年級(jí)上冊(cè)《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》是學(xué)生整數(shù)學(xué)習(xí)階段的結(jié)束?！按髷?shù)的認(rèn)識(shí)”即萬(wàn)以上數(shù)的認(rèn)識(shí)，是在學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握了萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)的鞏固和擴(kuò)展。本單元教材的編寫(xiě)邏輯如下。

表1：

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)這兩塊內(nèi)容的教材編排邏輯幾乎一致。分段認(rèn)識(shí)，分散了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，可以讓學(xué)生有一個(gè)緩沖的節(jié)奏，培養(yǎng)學(xué)生的遷移自學(xué)能力。但教材這樣的好意，學(xué)生卻未必領(lǐng)情。

實(shí)際教學(xué)中，在第一課時(shí)里認(rèn)識(shí)億以內(nèi)的計(jì)數(shù)單位時(shí)，課至“億”這個(gè)計(jì)數(shù)單位的教學(xué)節(jié)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生就已經(jīng)迫不及待地說(shuō)出了后面的計(jì)數(shù)單位“十億、百億、千億”。這是水到渠成的事，是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的自然迸發(fā)。如果將“億以上的計(jì)數(shù)單位”放在第二部分學(xué)習(xí)，帶來(lái)的后果就是學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已大打折扣，學(xué)習(xí)的連續(xù)性也被打斷。于是乎，我思考：“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)路徑一定是這樣嗎？可以怎樣微調(diào)？

對(duì)比其他版本的教材，或許我們可以發(fā)現(xiàn)一些新思路。關(guān)于大數(shù)的認(rèn)識(shí)，我對(duì)“北師大版、蘇教版、上海版、浙教版、青島版”等教材進(jìn)行了如下對(duì)比。

表2：

通過(guò)對(duì)比，我發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”一般有兩類(lèi)路徑。一類(lèi)是分段式的路徑，一類(lèi)是混合式路徑。兩種路徑孰優(yōu)孰劣？基于上述對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)狀態(tài)的分析以及教材對(duì)比不同路徑的可能性，我決定沿著這樣的路徑展開(kāi)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)：十進(jìn)制計(jì)數(shù)法——大數(shù)的讀法和寫(xiě)法——大數(shù)的比較大小——大數(shù)的改寫(xiě)和求近似數(shù)——自然數(shù)、計(jì)數(shù)工具——有趣的二進(jìn)制。

在實(shí)際教學(xué)時(shí)，我和學(xué)生一起從“十萬(wàn)”開(kāi)始走起，借助已有的“十進(jìn)制關(guān)系”順利地引出了后續(xù)的到“千億”為止的所有計(jì)數(shù)單位。緊接著，我們討論：“為什么萬(wàn)后面的新計(jì)數(shù)單位不取一個(gè)新名字？為什么千億后面不按照剛才的規(guī)則下去，不說(shuō)萬(wàn)億，要說(shuō)億？你覺(jué)得什么時(shí)候可能又會(huì)需要一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位名字？”整合后的計(jì)數(shù)單位教學(xué)路徑，可以讓學(xué)生更加清楚地理解單位彼此之間的緊密聯(lián)系，其背后的育人價(jià)值也有了更深長(zhǎng)的意味。它讓學(xué)生體味到規(guī)定的深意。在教學(xué)萬(wàn)以上數(shù)的讀、寫(xiě)、比較大小時(shí)，由于知識(shí)間相同的“理”，課堂上的學(xué)習(xí)就更能發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。雖然整合帶來(lái)一定的難度，但這樣的難度是適度的。適度的難度帶來(lái)的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)性使得學(xué)生在課堂上興致盎然，學(xué)習(xí)更有勁頭。

不同的路徑意味著不同的邏輯，但只有適合學(xué)生的邏輯才是教師應(yīng)該選擇的。

2.基于學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的路徑架構(gòu)

學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展往往遵循著一定的規(guī)律，這是學(xué)習(xí)的規(guī)律，也是教學(xué)所要遵循的規(guī)律。如認(rèn)識(shí)圖形時(shí)，根據(jù)范希爾理論，學(xué)生一開(kāi)始往往只關(guān)注圖形的整體特點(diǎn)，然后開(kāi)始注意圖形元素的單一性質(zhì)（先是長(zhǎng)度，然后是角度），最后才能同時(shí)兼顧圖形及其元素的多種性質(zhì)。而這樣的規(guī)律正是我們?cè)O(shè)計(jì)單元教學(xué)路徑所要考慮與遵循的。

人教版四年級(jí)下冊(cè)《三角形》的單元教學(xué)目標(biāo)是：在第一學(xué)段直觀認(rèn)識(shí)三角形的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、操作、推理等活動(dòng)進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)與理解。其編寫(xiě)邏輯是：三角形的定義——穩(wěn)定性——三邊關(guān)系——三角形的分類(lèi)——三角形的內(nèi)角和——四邊形的內(nèi)角和。細(xì)細(xì)品味，我們可以悟到：教材的編排順序使得知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯不夠嚴(yán)密，整體認(rèn)識(shí)與局部深入的順序不夠順暢。

此外，從對(duì)學(xué)生的前測(cè)中，我們也看到了單元教材編寫(xiě)的邏輯不符合學(xué)生的探究邏輯。我對(duì)所在年段的160名四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。從前測(cè)的結(jié)果看，學(xué)生最想了解三角形的前3個(gè)問(wèn)題是：分類(lèi)、面積、特性。這樣的結(jié)果是符合學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)的。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，已經(jīng)儲(chǔ)備一些認(rèn)識(shí)圖形的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，分類(lèi)是認(rèn)識(shí)圖形的一種方法，因此學(xué)生首先想了解的是三角形的分類(lèi)。對(duì)三角形的大小的興趣是對(duì)圖形直觀的感受。因此，學(xué)生對(duì)面積的興趣也非常濃厚，對(duì)面積的興趣也就是對(duì)底和高認(rèn)識(shí)的基點(diǎn)。對(duì)三角形特性的興趣基于對(duì)四邊形特性的了解，學(xué)生產(chǎn)生了合情推理：三角形的特性是什么？三角形會(huì)變形嗎？

基于以上分析，我將該單元的教學(xué)路徑進(jìn)行了調(diào)整，使其遵循從“整體到部分”的認(rèn)識(shí)順序。根據(jù)這一思考，我將該單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行如下整合。

表3：

深度學(xué)習(xí)理論指出，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷這樣幾個(gè)過(guò)程：預(yù)備與激活先期知識(shí)，獲取新知識(shí)，深度加工知識(shí)，評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)。要想讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，就要從與先期知識(shí)聯(lián)結(jié)最緊密的地方入手。調(diào)整后的單元教學(xué)路徑從學(xué)生與先期知識(shí)聯(lián)結(jié)最緊密的地方入手，遵循了學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的規(guī)律。我認(rèn)為，微調(diào)后的教學(xué)路徑優(yōu)于原先教學(xué)路徑。

3.基于學(xué)生概念內(nèi)化的路徑調(diào)整

人教版四年級(jí)上冊(cè)《平行四邊形和梯形》中關(guān)于“平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)”，教材原先的安排是：平行四邊形的概念和高的認(rèn)識(shí)——梯形的概念和高的認(rèn)識(shí)。

在小學(xué)圖形與幾何概念體系中，有些概念處于核心、樞紐的位置，我們稱之為“核心概念”?！捌叫小迸c“四邊形”就是這樣一組核心概念，且兩者在平行四邊形和梯形的概念定義中分別承載“種差”和“臨近屬概念”的上位概念身份。平行四邊形的概念是以“屬+種差”的方式下的定義。從這一點(diǎn)上看，平行四邊形和圖形的概念形成是同一次“屬+種差”擴(kuò)展的結(jié)果。而教材人為地將兩者分開(kāi)教學(xué)，我認(rèn)為，這將導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法很好地聯(lián)結(jié)起兩者。再者，平行四邊形與梯形的高從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一樣的，它們都是平行線間的垂直線段。從這樣的視角分析，教材的編寫(xiě)邏輯阻礙了學(xué)生的概念內(nèi)化。

基于以上思考，我將平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)路徑作了如下微調(diào)：平行四邊形、梯形的認(rèn)識(shí)——平行四邊形、梯形的高。將平行四邊形和梯形放在一起進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生經(jīng)歷“屬+種差”的概念發(fā)生過(guò)程，同時(shí)通過(guò)不同種差——對(duì)邊平行數(shù)量的多少來(lái)聯(lián)結(jié)“平行四邊形與梯形”，將兩者的高放在一起進(jìn)行教學(xué)，最大限度保證“高”認(rèn)識(shí)的完整性。

4.基于核心素養(yǎng)的時(shí)空拓展

近年來(lái)，關(guān)于“核心素養(yǎng)”的討論異常熱烈。在眾多的觀點(diǎn)中，我最喜歡的是曹培英先生的核心素養(yǎng)的三棱臺(tái)圖（如圖1）。

 圖1

抽象、推理、模型思想是最基本的數(shù)學(xué)思想，其他的數(shù)學(xué)思想都可看作是這三種數(shù)學(xué)思想派生出來(lái)。這三個(gè)思想構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科第一層次的核心素養(yǎng)。模型思想還蘊(yùn)含了應(yīng)用意識(shí)，符號(hào)意識(shí)可以并入抽象，因?yàn)榉?hào)是數(shù)學(xué)抽象最主要的語(yǔ)言表征。運(yùn)算能力、空間觀念和數(shù)據(jù)分析觀念則構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科第二層次的核心素養(yǎng)。第一層次的核心素養(yǎng)整體作用于第二層次的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)“熱”的背后，說(shuō)明了數(shù)學(xué)教育者對(duì)于“人”的尊重，追求的是數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。基于學(xué)生核心素養(yǎng)的時(shí)空拓展是對(duì)單元教學(xué)路徑的彌補(bǔ)與豐厚，其關(guān)注的是學(xué)生發(fā)展的需求，是知識(shí)背后的軟目標(biāo)。

（1）基于知識(shí)縱深的拓展。以北師大版四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)乘法》中的一道習(xí)題為例（如圖2）。

圖2

（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd的過(guò)程是分解因式的過(guò)程，基礎(chǔ)是乘法分配律。乘法分配律在后續(xù)的學(xué)習(xí)中非常重要，比如概率、高中生物的基因?qū)W、大學(xué)矩陣等。而在小學(xué)階段，乘法分配律又是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。于是，反過(guò)來(lái)思考，小學(xué)階段的乘法分配律局限于（a+b）×c=ac+bc，是不是妨礙學(xué)生發(fā)展的一個(gè)點(diǎn)？是否給了學(xué)生更多的乘法分配律的應(yīng)用后，會(huì)讓學(xué)生有更深刻的體會(huì)，反而對(duì)學(xué)生有所幫助呢？

我在《小數(shù)乘法》單元教學(xué)時(shí)，嘗試開(kāi)展了《分解因式》的拓展課。在課中，我和學(xué)生一起觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、概括，在課末與乘法分配律的溝通與對(duì)比中，學(xué)生說(shuō)出了自己的感受——這是乘法分配律的升級(jí)版本。如此這般，拓展的是視野，聯(lián)結(jié)的是能力。

（2）基于文化厚度的拓展。在合適的時(shí)間，在合適的地點(diǎn)，讓歷史的因子滲入學(xué)生的血液，在歷史的長(zhǎng)河中感受屬于數(shù)學(xué)的溫暖，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的美妙與精神。總有一天，學(xué)生會(huì)感謝我們今天的嘗試。

在人教版四年級(jí)下冊(cè)《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》單元，我?guī)е鴮W(xué)生一起走進(jìn)二進(jìn)制的世界。在執(zhí)教《有趣的二進(jìn)制》一課時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生在“計(jì)數(shù)器上用0和1撥一撥數(shù)；用0和1寫(xiě)一寫(xiě)數(shù)；試著把十進(jìn)制的數(shù)換算成二進(jìn)制，嘗試溝通二進(jìn)制、十進(jìn)制甚至更多計(jì)數(shù)法之間的聯(lián)系”。我通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)史活動(dòng)課，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，進(jìn)一步體會(huì)計(jì)數(shù)法思想。在人教版六年級(jí)上冊(cè)《圓》單元教學(xué)時(shí)，我開(kāi)展了史料閱讀課《古人與圓面積》。學(xué)生課前完成閱讀資料（如圖3），課中通過(guò)小組交流集體分享，感悟人們?cè)谧非髨A面積時(shí)的不懈努力。這樣的課，讓整個(gè)圓的學(xué)習(xí)路徑有了一次溫暖的人文體會(huì)；這樣的補(bǔ)充，是對(duì)單元教學(xué)路徑的錦上添花。

《古人與圓面積》閱讀資料

《萊茵德紙草書(shū)》（古埃及，公元前1850～前1650年成書(shū)）第48題。

已給圓田的直徑是9亥特，問(wèn)，它的面積是多少？答：64塞塔。

解：減去直徑的九分之一，即減去1，余數(shù)為8。8自乘，得64，所以所求面積是64塞塔。（如下圖）

你能寫(xiě)出解答中的計(jì)算過(guò)程嗎？(9-1)²=64

如果把這個(gè)計(jì)算過(guò)程推廣為圓面積計(jì)算公式，即為S=（8d/9）2，如果把它推導(dǎo)成現(xiàn)在的圓面積的計(jì)算模式，即為S=(8*2r/9)2=256/81r2。其中的相當(dāng)于圓周率，約為3.1605。

這個(gè)公式是怎么得到的呢?

（閱讀材料來(lái)源于邵漢民的《小學(xué)數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)教學(xué)》）

葉圣陶先生認(rèn)為，教師的教學(xué)要從“教教材”轉(zhuǎn)向“用教材教”。單元教學(xué)路徑微調(diào)的嘗試正是我基于學(xué)生的“用教材教”的實(shí)踐。單元教學(xué)路徑的微調(diào)是基于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)規(guī)律的內(nèi)容重組、結(jié)構(gòu)整合，也是基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成的路徑拓展。而這一切的一切，都只是為了讓“教材的編寫(xiě)邏輯、學(xué)生的探究邏輯、教師的教學(xué)邏輯”這三者達(dá)成一致，形成教育合力。

關(guān)乎單元教學(xué)路徑的思辨，我經(jīng)歷著這樣的煉獄——是怎樣？一定是這樣嗎？還能是怎樣？路徑不是唯一的，它只代表了我對(duì)于學(xué)生與教材的理解，期待同行的批評(píng)指正。