【題目】

（2018·江西）在正方形ABCD中，AB=6，連接AC，BD，P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若PD=2AP，則AP的長為                    ．

【答案】2或2√3或√14﹣√2．

【解析】

解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，

∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，

AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC=√(AB2+BC2 )=√(62+62)=6√2，

∴OA=OB=OC=OD=3√2，

有三種情況：

①點(diǎn)P在AD上時(shí)，

∵AD=6，PD=2AP，

∴AP=2；

②點(diǎn)P在AC上時(shí)，

設(shè)AP=x，則DP=2x，

在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，

（2x）2=（3√2）2+（3√2﹣x）2，

解得：x=√14﹣√2（負(fù)數(shù)舍去），

即AP=√14﹣√2；

③點(diǎn)P在AB上時(shí)，

設(shè)AP=y，則DP=2y，

在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，

y2+62=（2y）2，

解得：y=2√3（負(fù)數(shù)舍去），

即AP=2√3；

拓展：

由于PD=2AP，所以在DA的延長線上取一點(diǎn)E，

使得AE=1/22·DE=1/4DE，

即AE=1/3AD，

因?yàn)锳D=6，所以AE=2，

則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)E為圓心,r=1/2DE=4為半徑的圓。

為什么呢？

因?yàn)镋P/DE=AE/EP=1/2，且∠PEA=∠DEP，

所以△PEA∽△DEP，

得AP/PD=EP/DE=1/2。

因此，無論如何，⊙E上面的任意一點(diǎn)，都滿足PD=2AP。

易得該圓與正方形的邊及對角線交于3個(gè)點(diǎn)，易得AP的長。

阿氏圓

阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。

如圖，若PB=kPA（k＞1），如何確定點(diǎn)P的位置呢？

在BA的延長線上面取一點(diǎn)C，使得AC=1/k2·BC，

即AC=1/(k2-1）·AB，BC=k2/(k2-1）·AB，

以點(diǎn)C為圓心，r=k·AC=k/ (k2-1）·AB為半徑作圓，

則點(diǎn)P的軌跡為⊙C。

因?yàn)镻C/AC=（k/ (k2-1）·AB）/（1/(k2-1）·AB）=k

BC/PC=（k2/(k2-1）·AB）/（1/(k2-1）·AB）=k，

且∠PCA=∠BCP，

所以△PCA∽△BCP，

所以PB/PA=PC/AC=k。

例如，AB=6，k=2時(shí)，AC=2，

以點(diǎn)C為圓心、r=4為半徑畫圓即可。

PC/AC=4/2=2，

BC/PC=8/4=2，

所以PB/PA=2。

阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262～190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名。阿波羅尼奧斯常和歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三杰”。他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。