考綱原文

1．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

（2）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.

2．生活中的優(yōu)化問題

會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.

知識點詳解

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

一般地，在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)：

（1）如果 f'(x)>0,函數(shù)f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

（2）如果f'(x)<0,函數(shù)f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

（3）如果f'(x)=0，函數(shù)f (x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．

注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號；

（3）函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)內(nèi)恒成立，且 在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說，在區(qū)間內(nèi)的個別點處有f'(x)=0 ,不影響函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

1．函數(shù)的極值

一般地，對于函數(shù)y=f (x)，

（1）若在點x=a處有f ′(a)=0，且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0,則稱x=a為f (x)的極小值點， 叫做函數(shù)f (x)的極小值.

（2）若在點x=b處有f'(b)=0，且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0 ，則稱x=b為f (x)的極大值點， 叫做函數(shù)f (x)的極大值．

（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.

2．函數(shù)的最值

函數(shù)的最值，即函數(shù)圖象上最高點的縱坐標(biāo)是最大值，圖象上最低點的縱坐標(biāo)是最小值，對于最值，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)f(x) 在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟為：

（1）求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

（2）將函數(shù)f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

3．函數(shù)的最值與極值的關(guān)系

（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間[a,b]的整體而言；

（2）在函數(shù)的定義區(qū)間[a,b]內(nèi)，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；

（3）函數(shù)f (x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；

（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.

三、生活中的優(yōu)化問題

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值問題的有力工具.

解決優(yōu)化問題的基本思路是：

考向分析

考向一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式 f'(x)>0（f'(x)<0)在給定區(qū)間上恒成立．一般步驟為：

（1）求f ′(x)；

（2）確認(rèn)f ′(x)在(a,b)內(nèi)的符號；

（3）作出結(jié)論，f'(x)>0 時為增函數(shù)，f'(x)<0時為減函數(shù)．

注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．

2．在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集R可以省略不寫.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點.

3．由函數(shù)f(x)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；

（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；

（3）若已知f(x) 在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

4．利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解.

考向二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

1．函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

（1）函數(shù)極值的判斷：先確定導(dǎo)數(shù)為0的點，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號．

（2）求函數(shù)f(x)極值的方法：

①確定函數(shù)f(x)的定義域．

②求導(dǎo)函數(shù)f'(x)．

③求方程f'(x)=0的根．

④檢查 f'(x)在方程的根的左、右兩側(cè)的符號，確定極值點．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x) 在這個根處取得極小值；如果f'(x) 在這個根的左、右兩側(cè)符號不變，則 fx() 在這個根處沒有極值．

（3）利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f'(x),求方程f'(x)=0 的根的情況，得關(guān)于參數(shù)的方程(或不等式)，進(jìn)而確定參數(shù)的取值或范圍.

2．求函數(shù)f (x)在[a,b]上最值的方法

（1）若函數(shù)f (x)在[a,b]上單調(diào)遞增或遞減，f (a)與f (b)一個為最大值，一個為最小值．

（2）若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)上的極值，與f (a)、f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

（3）函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點．

注意：

（1）若函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

（2）極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.

3．利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：

（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.

考向三 （導(dǎo)）函數(shù)圖象與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系

1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)變化快慢的關(guān)系：如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

2．導(dǎo)函數(shù)為正的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)為函數(shù)的極值點.

考向四 生活中的優(yōu)化問題

1．實際生活中利潤最大，容積、面積最大，流量、速度最大等問題都需要利用導(dǎo)數(shù)來求解相應(yīng)函數(shù)的最大值.若在定義域內(nèi)只有一個極值點，且在極值點附近左增右減，則此時唯一的極大值就是最大值.

2．實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等問題都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值.用料最省、費用最低問題出現(xiàn)的形式多與幾何體有關(guān)，解題時根據(jù)題意明確哪一項指標(biāo)最省(往往要從幾何體的面積、體積入手)，將這一指標(biāo)表示為自變量x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或其他方法求出最值，但一定要注意自變量的取值范圍．