怎么利用正方形這個(gè)條件呢？

解：如下圖，設(shè)△EFG是正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形．且E、F分別在一組對(duì)邊AD、BC上，取EF中點(diǎn)M，連MG．

    雖然此題的年齡比我都要大，但是現(xiàn)在看來(lái)還是可圈可點(diǎn)。題目清新自然又不落俗套，設(shè)問(wèn)恰到好處，沒(méi)有給出明顯的“提示”。解答簡(jiǎn)明利落，特別是發(fā)現(xiàn)EF中點(diǎn)M為定點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵所在，M的引入如神來(lái)之筆，出乎意料之外又在情理之中，令人嘆為觀止，擊節(jié)贊嘆。

    當(dāng)然，此題的解答也“順便”給出了內(nèi)接正三角形的作圖方法：先作出正三角形ABM，對(duì)于AB上點(diǎn)G，過(guò)M作MG垂線與AD、BC交于E、F，則△EFG即為過(guò)G的正方形的內(nèi)接正三角形。

    此題的另一個(gè)自然的思路是用三角計(jì)算，也是可以得到答案的，不過(guò)代數(shù)方法畢竟和純幾何解法相比略顯遜色，而且也發(fā)現(xiàn)不了EF中點(diǎn)M為定點(diǎn)。這里從略。

    然后呢？

    解答完一個(gè)好題以后不能止步不前，應(yīng)該趁熱打鐵，看看還能提出什么問(wèn)題，或者還有哪些與此有關(guān)的問(wèn)題？

    當(dāng)然，一個(gè)自然的想法是如果不是正方形，是矩形呢,如何做一個(gè)內(nèi)接正三角形呢？

    顯然是一樣的！因?yàn)樯鲜鲎鲌D過(guò)程中只是用到了直角，沒(méi)有用到臨邊相等的條件。也是說(shuō)CD相當(dāng)于可以上下平行移動(dòng)。

    通過(guò)平移我們發(fā)現(xiàn)CD如果太往下平移，正三角形就無(wú)法都在邊上了，一個(gè)自然的問(wèn)題是：

解：由上題知EF過(guò)M，故當(dāng)EF//AB時(shí)，此正三角形的外接矩形短邊最短，此時(shí)長(zhǎng)短邊之比為2√3/3。故兩邊比值范圍為[√3/2,2√3/3]。

再看下一個(gè)問(wèn)題：

解：如下圖，矩形ABFH內(nèi)接正三角形EFG，若設(shè)FH=x,FB=y,BG=a,HE=b,

則AG=x-a,AE=y-b,且

(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+b^2=y^2+a^2,

從而其幾何意義即為上題，由上題解答知x/y最大值為2√3/3，故選A。

到這里我又想到了一個(gè)前天成都祥福中學(xué)楊建華老師問(wèn)的問(wèn)題：

解法1：設(shè)EF=2a,∠HFE=θ,

則∠GFB=30°-θ,∠AEG=30°+θ,

從而[EFH]=2a^2sinθcosθ=a^2sin2θ,

同理[FGB]=a^2sin(60°-2θ)

[EAG]=a^2sin(60°+2θ),

故[EFH]+[FGB]=a^2sin2θ+a^2sin(60°-2θ)

=a^2sin(60°+2θ)=[EAG]，

即[EFH]+[FGB]=[EAG].

思路2：各個(gè)邊長(zhǎng)和角度與解法1相同,由解法1得

[EFH]=2a^2sinθcosθ=a^2sin2θ,

[FGB]=a^2sin(60°-2θ)，

[EAG]=a^2sin(60°+2θ),

故可以將各三角形面積放大兩倍，

作FT=2a,∠TFE=2θ,

則∠GIF=60°+2θ,

從而[EFGT]=0.5(2a)^2*sin(60°+2θ)=2[EAG]。

解法2：如圖，設(shè)EF=2a,∠HFE=θ,

則∠GFB=30°-θ,∠AEG=30°+θ,

從而[EFH]=2a^2sinθcosθ=a^2sin2θ,

同理[FGB]=a^2sin(60°-2θ)，

[EAG]=a^2sin(60°+2θ),

作FT=2a,∠TFE=2θ,

則∠GIF=60°+2θ,

從而，2[EFH]+2[FGB]=

[EFGT]=0.5EG*FT*sin∠GIF

=0.5(2a)^2*sin(60°+2θ)=2[EAG]，

即[EFH]+[FGB]=[EAG].

思路3：聯(lián)想到第2題，直接利用勾股定理，

列出方程組，消元時(shí)需要一定的技巧避免出現(xiàn)四次方程。

解法3：與第2題相同，設(shè)FH=x,FB=y,BG=a,HE=b,

則AG=x-a,AE=y-b,且

(x-a)^2+(y-b)^2=x^2+b^2=y^2+a^2,

從而y^2-2by-2ax+a^2=0,  (1)

x^2-2by-2ax+b^2=0,  (2)

(1)*x^2-(2)*y^2得

x^2a^2-y^2b^2-2(by+ax)(x^2-y^2)=0

(by+ax)(ax-by-2x^2+2y^2)=0,

故ax-by-2x^2+2y^2=0,

將by代入(1)中得到：

y^2-2ax+4x^2-4y^2-2ax+a^2=0,

即(a-2x)^2=3y^2,

a=2x-√3y,

同理b=2y-√3x。

bx+ay=2xy-√3x^2+2xy-√3y^2=4xy-√3(x^2+y^2),

(x-a)(y-b)=(√3y-x)(√3x-y)=4xy-√3(x^2+y^2)=bx+ay,

從而[EFH]+[FGB]=[EAG].

思路4：依然用解法3中的圖標(biāo)，欲證結(jié)果，

即證bx+ay=(x-a)(y-b),

即證2bx+2ay=xy+ab。

另一方面，從幾何上看，

欲證兩個(gè)小三角形面積之和等于大三角形面積，

自然的思路是將兩個(gè)小三角形拼到一起，故將

△FHE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到四邊形FIGB,

將其面積用△FIB與△GIB之和表示，則得到

0.5(bx+ay)=0.5(xy+ab)*sin30°,

即為需證結(jié)果

解法4：各線段標(biāo)記與解法3相同，

如圖，作△FHE?△FIG,

則∠IFB=∠IGA=30°,

由[FIG]+[FGB]=[FIB]+[GIB]

得0.5(bx+ay)=0.5(xy+ab)*sin30°，

即2bx+2ay=xy+ab，

即bx+ay=(x-a)(y-b),

從而[EFH]+[FGB]=[EAG].