【問(wèn)題提出】如圖△ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)∠APB與∠APC的度數(shù)。

【問(wèn)題分析】關(guān)于求幾何最值問(wèn)題，我們一般可以借助以下兩個(gè)公理來(lái)處理：

（1）定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間線段最短；

（2）定點(diǎn)到直線：垂線段最短。

因此，我們要想辦法把PA、PB、PC這三條分散的線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，然后借助兩點(diǎn)之間線段最短找到符合條件的點(diǎn)P。在解決幾何最值問(wèn)題過(guò)程中，我們常借助對(duì)稱(chēng)變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，本題牽涉三條線段，因此我們可以考慮旋轉(zhuǎn)變換。

【問(wèn)題處理】

【問(wèn)題歸納】符合條件的點(diǎn)P,我們把它叫做費(fèi)馬點(diǎn)。 所謂的“費(fèi)馬點(diǎn)”就是法國(guó)著名業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給數(shù)學(xué)朋友的一封信中提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問(wèn)題：“在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最?。弊屌笥阉伎?并自稱(chēng)已經(jīng)證明了。這是費(fèi)馬通信的一貫作風(fēng)。人們稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”。還有像著名的費(fèi)馬大定理（當(dāng)整數(shù)n >2時(shí)，關(guān)于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒(méi)有正整數(shù)解。）也是這樣，給歐拉的信中提出的，自稱(chēng)已經(jīng)“有了非常巧妙的證明”。直到離開(kāi)也沒(méi)告訴人家這個(gè)所謂證明，結(jié)果困擾世界數(shù)學(xué)界三百多年。

費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)．

【相關(guān)應(yīng)用】