【分析方法導引】

當幾何問題中出現(xiàn)了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質(zhì)進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結(jié)論，則應轉(zhuǎn)而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉(zhuǎn)化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現(xiàn)了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉(zhuǎn)化成要證明問題中出現(xiàn)的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現(xiàn)了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是將斜邊上的中線添上，然后可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質(zhì)來完成分析。

例1 如圖3-187，已知：△ABC中，BD、CE是高，F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點。求證：FG⊥ED。

分析：由條件BD是高，故△BCD是直角三角形，于是條件中出現(xiàn)的F是BC的中點，就成為是直角三角形斜邊的中點，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質(zhì)進行證明。由于現(xiàn)在圖形中出現(xiàn)了直角三角形而沒有斜邊上的中線，故應將這條斜邊上的中線添上，即聯(lián)結(jié)DF，得DF=1/2BC。另一方面CE也是高，用同樣的方法聯(lián)結(jié)EF后，又可得EF=1/2BC（如圖3-188），則EF=DF。但這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，而已知G是DE的中點，所以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質(zhì)就可以證明FG⊥ED。

本題的分析也可以直接從∠BDC=∠BEC=90°開始，這樣應用圓周角的基本圖形的性質(zhì)可得B、C、D、E四點共圓，且BC就是這個圓的直徑，BC的中點F就是這個圓的圓心。由于E、D都在這個圓上，所以DE就是這個圓的一條弦，而已知G是DE的中點，出現(xiàn)了圓中弦的中點，所以可直接應用垂徑定理證明FG⊥ED。

例2 如圖3-189，已知：梯形ABCD中，∠A+∠B=90°，E、F分別是上、下底DC、AB的中點。求證：EF=1/2（AB-CD）。

分析：本題的條件中出現(xiàn)了梯形，所以可將梯形的問題轉(zhuǎn)化到三角形中的問題來進行討論。由于結(jié)論中出現(xiàn)的AB-CD是梯形兩條底的差，所以轉(zhuǎn)化的方法可以是作腰的平行線。

若考慮過頂點D作腰的平行線，則過D作DG∥CB交AB于G（如圖3-190）。于是由DC∥AB，就可得四邊形DGBC是平行四邊形，DC=GB，所以AG就等于AB-GB=AB-CD，這樣問題就成為要證EF=1/2AG。同時，由DG∥CB，又可得∠B=∠DGA，那么條件中的∠A+∠B=90°，就成為∠A+∠DGA=90°，也就推得∠ADG=90°。而現(xiàn)在要證明的EF=1/2AG是線段之間的倍半關系，且其中的倍線段AG現(xiàn)在是Rt△AGD的斜邊，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質(zhì)進行證明。由于現(xiàn)在圖形中是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以應將斜邊上的中線添上，也就是取AG的中點H，聯(lián)結(jié)DH（如圖3-191），這樣即可得DH=1/2AG，問題也就成為要證EF=DH。由于H、F分別是AG、AB的中點，所以HF=AF-AH=1/2AB-1/2AG=1/2（AB-AG）=1/2GB=1/2CD=DE，且HF∥DE，就可得四邊形DHFE也是平行四邊形，EF=DH也就可以證明。

若考慮過E點作腰的平行線，則過E分別作CB、DA的平行線交AB于H、G（如圖3-192），即可得∠A=∠EGH，∠B=∠EHG，所以∠A+∠B=∠EGH+∠EHG=90°，也就可得∠GEH=90°。而由DC∥AB，又可得四邊形AGED和BHEC都是平行四邊形，AG=DE、BH=EC。由于條件中還給出F、E分別是AB、DC的中點，所以GF=AF-AG=BF-DE=BF-EC=BF-BH=FH，這樣又出現(xiàn)了F是Rt△GHE的斜邊的中點，所以可應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質(zhì)進行證明，也就可得EF=1/2GH。而GH=AB-（AG+BH）=AB-（DE+EC）=AB-CD，所以分析可以完成。

本題的平行線還可考慮過其它的頂點或中點F作，對這些可能情況，請讀者自行討論。

由于本題條件中給出∠A+∠B=90°，因此以這兩個角為內(nèi)角的三角形是直角三角形。由于這個直角三角形尚不完整，所以應先將直角三角形添全，即延長AD、BC相交于G（如圖3-193），得∠AGB=90°，于是條件中出現(xiàn)的F、E分別是AB、DC的中點，也就分別成為Rt△GAB和Rt△GDC的斜邊的中點，從而就可以應用直角三角形斜邊上的中線這個基本圖形的性質(zhì)進行證明。由于已知圖形中現(xiàn)在是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以就應將斜邊上的中線添上，也就是分別是聯(lián)結(jié)GE、GF（如圖3-193），即可得GE=ED=1/2DC，GF=FA=1/2AB，從而就有GF-GE=1/2AB-1/2CD。將這一關系和結(jié)論比較可知問題應證EF=GF-GE，也就是要證G、E、F在一直線上。由于應用直角三角形斜邊上中線的基本圖形的性質(zhì)還可得∠EDG=∠EGD，∠FAG=∠FGA。而條件中有DC∥AB，這兩條平行線可以看作是被AC所截，所以∠EDG=∠FAG，即得∠EGD=∠FGA，GE和GF重合，也就是G、E、F共線，分析完成。

例3 如圖3-194，已知：⊙O和⊙O′外切于C，外公切線AB與⊙O、⊙O'分別相切于A、B，AB的延長線與OO′的延長線相交于S，過S作DE⊥AB交CB和AC的延長線于D、E。求證:SD=SE。

分析：本題條件中給出⊙O和⊙O外切于C，OO′是連心線，所以OO′必定經(jīng)過C點，又因為這是一個兩圓外切也就是圓的組合圖形問題，所以可轉(zhuǎn)化到一個圓中的問題來進行討論，轉(zhuǎn)化的方法是添過切點的公切線，于是過C作兩圓的內(nèi)公切線交AB于F(如圖3-195)。這樣對每一個圓來說都是切線的問題，從而可應用弦切角的基本圖形的性質(zhì)進行證明，于是可分別證得FA=FC=FB，∠FAC=∠FCA，∠FBC=∠FCB，進一步就可得∠ACB=90°，而A、C、E成一直線，所以又有∠BCE=90°，而要證的結(jié)論是SD=SE，這樣就出現(xiàn)了S是直角三角形CDE斜邊DE的中點，從而就可以應用直角三角形的斜邊上的中線這個基本圖形的性質(zhì)進行證明(如圖3-196)，也就是要證SD=SE，就應證SD和SE都和SC相等。

如果先考慮證SD=SC。由于已知AB與⊙O′相切于B，所以就可應用切線的性質(zhì)進行證明，于是連結(jié)O'B(如圖3-197)后，可得∠SBO′(弦切角)=90°，O'B⊥AB，而條件中又給出SD⊥AB，所以就得到O′B∥SD，這樣就出現(xiàn)了O′B是三角形內(nèi)一條邊SD的平行線，所以就可應用平行線型相似三角形的性質(zhì)進行證明，也就是可得△O'BC∽△SDC，而O′B和O′C是同一個圓，亦即⊙O′的半徑，當然相等，△O′BC是等腰三角形，所以△SDC必定也是等腰三角形，也就是可證明SD=SC。根據(jù)同樣的道理，連結(jié)OA(如圖3-197)后可得△OAC∽△SEC，從而也可以進一步證得SE=SC。所以結(jié)論就得到證明。