作者：王方漢，ID為大罕，男，湖北省武漢市人。中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，廣東省初等數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)顧問(wèn)。曾任《數(shù)學(xué)通訊》編委，《中學(xué)數(shù)學(xué)》編委。在國(guó)家級(jí)和省級(jí)刊物上發(fā)表數(shù)學(xué)論文三百余篇，曾獲全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究大會(huì)論文一等獎(jiǎng)。編著數(shù)學(xué)書(shū)數(shù)本，代表著作為《五角星·星形·平面閉折線》（華中師范大學(xué)出版社）編者按：大罕（王方漢）老師乃是筆者在網(wǎng)上結(jié)識(shí)的一名“高士”，雖已退休，然筆耕不輟，仍在從事教學(xué)教研工作，其數(shù)學(xué)詩(shī)和《論數(shù)學(xué)詩(shī)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)詩(shī)》令人稱贊不已。最近在“攬數(shù)習(xí)文群”里，他又刊出系列短文“怎樣把課講好”，每篇雖短小，但言之有物，文筆輕松、流暢，詼諧幽默風(fēng)趣的同時(shí)字字真心，體現(xiàn)了王老師一生從教之感悟，獲得網(wǎng)友好評(píng)。上海市著名教師乙爾先生跟帖評(píng)論：“《新民晚報(bào)》原有《十日譚》，這種形式的文章，即興而書(shū)，文短意深，經(jīng)驗(yàn)提煉，萬(wàn)人得益。好！”筆者經(jīng)王老師首肯，匯編于此，與廣大網(wǎng)友分享…… 美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。 華羅庚說(shuō)：“學(xué)數(shù)學(xué)不做題等于入寶山而空返，一無(wú)所獲。” 要正確快捷地解答數(shù)學(xué)題，前提是透徹理解數(shù)學(xué)概念、法則、定理和公式。如果撇開(kāi)淡化前提，倉(cāng)促上陣，為解題而解題，則往往知其然而不知所以然，甚至欲速則不達(dá)。在充分滿足前提這樣的基礎(chǔ)上，通過(guò)解題，掌握必要的數(shù)學(xué)思想、技能和技巧，相得益彰，從而提高解題的能力。 學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，也會(huì)因?yàn)檎`以為數(shù)學(xué)概念等枯燥無(wú)味、沒(méi)多大作用而加以忽視。如果教師在數(shù)學(xué)課中，迎合學(xué)生心理，偷工減料以節(jié)省時(shí)間，把數(shù)學(xué)概念一帶而過(guò)，公式合盤端出，法則不講細(xì)節(jié)，定理不講適應(yīng)范圍，這樣一種本末倒置的教學(xué)方法，會(huì)給后續(xù)教學(xué)留下禍根，貽誤學(xué)生。 從當(dāng)前普遍存在的急功近利、揠苗助長(zhǎng)的教學(xué)現(xiàn)象來(lái)看，呼吁大家要重視概念教學(xué)，此乃正本清源之舉措，已刻不容緩了。 舉一個(gè)例子。在數(shù)列極限的教學(xué)中，學(xué)生提出一個(gè)問(wèn)題：數(shù)列{a(n)}的通項(xiàng)a(n)=1/n，它的極限是0，而無(wú)窮等比數(shù)列{a(n)}當(dāng)|q|<1時(shí)，無(wú)窮多項(xiàng)的和a(1)+ a(2)=""> 如果教師對(duì)概念理解不透，可能回答得不那么嚴(yán)謹(jǐn)通達(dá)，難以讓學(xué)生釋懷。 其實(shí)，數(shù)列{1/n}的極限為0是指數(shù)列：1,1/2,1/3, …,1/n, …的項(xiàng)隨著n無(wú)限增大而無(wú)限接近于0。而無(wú)窮遞縮等比數(shù)列無(wú)窮多項(xiàng)的和a(1)+ a(2) +a(3)+…，我們看成數(shù)列{S(n)}：S(1), S(2), S(3),…,S(n),…的項(xiàng)隨著n無(wú)限增大而無(wú)限接近于某一個(gè)常數(shù)(這個(gè)常數(shù)是a1/(1-q))。我們?cè)谟?jì)算這個(gè)常數(shù)(即推導(dǎo)極限公式)時(shí)，運(yùn)用了這樣一個(gè)想法：先求出S(n)的表達(dá)式，S(n)＝[a1/(1-q)](1-q^n)，再求此表達(dá)式的極限。由此可見(jiàn)，后者仍然是求數(shù)列的極限。不過(guò)，這個(gè)數(shù)列不是{a(n)}，而是{S(n)}。 換句話說(shuō)，無(wú)窮多項(xiàng)的和a(1)+ a(2) +a(3)+…，我們把它看成前n項(xiàng)的和S(n)＝a(1)+ a(2) +a(3)+…+a(n)當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)的極限。同時(shí)，要明確告訴學(xué)生，這里運(yùn)用了一個(gè)嶄新的思想：把無(wú)窮多項(xiàng)的和看成有限個(gè)項(xiàng)的和的極限。然后輔以1/2+1/4+1/8+…+1/2^n+…=1的數(shù)學(xué)模型加以理解。水到渠成，學(xué)生一般會(huì)口服心服了。 有四種老師講課有不同的境界。第一種是深入淺出，第二種是深入深出，第三種是淺入淺出，第四種是淺入深出。意思是明確的，這里不予解釋。 記得大學(xué)時(shí)我的老師教我們函數(shù)定義時(shí)，基本上照本宣科。這叫深入深出。怎樣做到深入淺出，還是我走上講臺(tái)之后。 函數(shù)極限的定義是：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一中心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于給定任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ ，使得當(dāng)x滿足不等式0<><><><ε，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作lim(x→x0) f(x)=""> 上述定義描述的是當(dāng)自變量x無(wú)限接近x0時(shí)，函數(shù)值f(x)無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)A的現(xiàn)象?！盁o(wú)限接近”的說(shuō)法不是很形象嗎？這樣的定義叫“描述性定義”。描述性定義的缺點(diǎn)是沒(méi)有精確地量化，故不能計(jì)算或證明。僅停留在描述性上，數(shù)學(xué)豈不成為了文學(xué)嗎？ 上面這段文字是我授課時(shí)的核心想法。以下如何深入淺出地講“ε-δ定義”，這里就不必詳說(shuō)了。 講課做到深入淺出，首先是個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容要有透徹的理解，其次要充分了解受眾的心理及難點(diǎn)在何處，最后是琢磨一套講授的方法和運(yùn)用什么樣的生動(dòng)活潑的形式。 深入是有相對(duì)性的。你認(rèn)為深入的，懂這個(gè)的人認(rèn)為是淺顯的。反之亦然。 又如講二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，計(jì)算(x^2-1/(2x))^9展開(kāi)式x^9中的系數(shù)。我在給基礎(chǔ)差的學(xué)生是這樣講的：我們分四個(gè)步驟完成： 第一步，套公式：T(r+1)=C(9,r) (x^2)^(9-r)[-1/(2x)]^r 第二步，初級(jí)整理得 (-1)^r·C(9,r) x^[2(9-r)] ·(1/2)^r·[(x^(-1)]^r 第三步，繼續(xù)整理得 (-1/2)^r·C(9,r) x^[2(9-r)-r] 第四步，終極整理得 (-1/2)^r·C(9,r) x^(18-3r) . 套公式，初級(jí)整理，繼續(xù)整理，終極整理，這樣稱謂既自然又親切，再差的學(xué)生也不覺(jué)得難了。有時(shí)，講細(xì)一點(diǎn)，語(yǔ)言生動(dòng)一點(diǎn)，也能做到深入淺出。
上一篇隨筆發(fā)在群里后，引起了大家的興趣。有群友說(shuō)：“我倒是想看看大罕如何講極限理論，他偏不說(shuō)了，后面的二項(xiàng)式理論興趣不大，倒講得特別細(xì)…”(作者注：其實(shí)你誤會(huì)了，我是寫教學(xué)體會(huì)，而不是講數(shù)學(xué)教學(xué)。)還有人說(shuō)：“這個(gè)嚴(yán)格定義是非常難講的”，“數(shù)列極限和函數(shù)極限都很難通俗化的”，“能夠把極限理論通俗化給高中生講明白絕對(duì)是功夫。很難。所以有興趣”。 本文較為詳細(xì)地說(shuō)說(shuō)如何講極限，還是以函數(shù)極限為例。注意，下面的內(nèi)容不是教學(xué)實(shí)錄。 當(dāng)自變量x無(wú)限接近x0時(shí)，函數(shù)值f(x)無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)A，就稱為常數(shù)A是函數(shù)f(x)在x0處的極限。這是描述性的定義。我想這個(gè)定義應(yīng)該是不難理解的。 兩個(gè)數(shù)的接近，數(shù)學(xué)上叫“距離”，用此兩數(shù)的差表示。不計(jì)次序則用兩數(shù)差的絕對(duì)值。于是|f(x)-A|就表示函數(shù)值f(x)與常數(shù)A的“接近”(程度)。 重要的是“無(wú)限接近”如何表示？為便于理解，講課時(shí)可用如下遞進(jìn)的三句話表達(dá)： 第三句話，接近程度用字母ε（任意小的正數(shù)）表示。而且，唯獨(dú)用字母才能表示任意小，因?yàn)槿魏尉唧w的數(shù)，比如0.00000000001，它還是“死的”，不是任意小。也就是說(shuō)兩數(shù)差的絕對(duì)值要小于ε。 至此，“函數(shù)值f(x)無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)A”，就翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言：0<><ε> 更難于理解的在后面。函數(shù)值f(x)無(wú)限接近常數(shù)A，一定能做到嗎？不會(huì)是吹牛的吧？ 哈哈，做得到！在自變量x無(wú)限接近x0的過(guò)程中就能夠做到。 怎樣表明你做到了呢？好吧，你給一個(gè)ε吧，我就能在“x無(wú)限接近x0”的過(guò)程中找到一個(gè)時(shí)刻δ（這實(shí)際上是一個(gè)數(shù)），在這一時(shí)刻之后的任何時(shí)候，f(x)接近常數(shù)A的程度比你給的ε還要小。 x不是無(wú)限接近x0么? 是的。那么“接近”用|x-x0|表示，存在時(shí)刻δ，“在這一時(shí)刻之后的任何時(shí)候”，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是0<><> 串起來(lái)說(shuō)，我們只要能找到δ，使得當(dāng)0<><><><> 慶幸的引以自豪的是，這個(gè)δ，是可以通過(guò)解不等式算出來(lái)的。 下面的任務(wù)就是通過(guò)具體的實(shí)例，對(duì)上述定義加以理解。按教材即可。 至于數(shù)列極限的“ε-N定義”，與函數(shù)極限定義本質(zhì)相同，只是處理起來(lái)更方便一點(diǎn)。 上篇談到了極限的教學(xué)。這樣細(xì)致入微的剖析概念的涵義，在中學(xué)數(shù)學(xué)里是少見(jiàn)的。但是，把每一節(jié)課講得更好，更有成效，則是教師必須以行動(dòng)交出的答卷。 會(huì)解數(shù)學(xué)題是一種技能，也是教師必備的基本功。 會(huì)教數(shù)學(xué)則是一種綜合的技能，需要較強(qiáng)的組織數(shù)學(xué)內(nèi)容、調(diào)度課堂節(jié)奏的能力，以及較好的語(yǔ)言表達(dá)能力，還要有刻苦鉆研的精神，和機(jī)動(dòng)靈活的腦子。所以，后者更難些。 一些群里，人們討論得更多的是如何解難題。筆者并不反對(duì)研究難題的解法。不過(guò)，需要提醒的是，如果我們僅僅停留在解題層面上（從群里的發(fā)言并不能說(shuō)明這一點(diǎn)），而不注重研究學(xué)生，研究如何更畫龍點(diǎn)睛地、通俗易懂地誘導(dǎo)學(xué)生、示范學(xué)生，那么，我們至多是解題的能手，而不是教學(xué)的高手。 說(shuō)到高手，其實(shí)，能做到對(duì)學(xué)生不教而學(xué)之，那才叫高手。怎樣做到“不教而學(xué)之”？調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣熱情，創(chuàng)建美妙的數(shù)學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生的智力發(fā)揮，點(diǎn)撥問(wèn)題的要害，剖析難點(diǎn)而分散之，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，擅長(zhǎng)這些的，可能就是最好的教師吧。 有人說(shuō)，教尖子生難，教差生難。這里要問(wèn)，教“普通學(xué)生”，難道就容易嗎？ 把課講好，前提是不要講錯(cuò)。口誤、筆誤總歸是誤，均要改正。尤其是知識(shí)性的錯(cuò)誤，一定要鄭重糾正。 有群友私信問(wèn)我：“為什么每次看到函數(shù)光滑的曲線什么的，我就想起來(lái)它處處可導(dǎo)可積啊…誰(shuí)能告訴我為什么初中課本講到函數(shù)都是光滑的曲線或者直線連接的啊？？我也可以不光滑?。。。”热鐈=(-4)^x這就不是光滑的曲線?。。?！因?yàn)樗皇沁B續(xù)的?。。。?！但是這種事情，怎么才能和初中生解釋呢？？？？ ” 實(shí)際上提了三個(gè)問(wèn)題：①什么叫光滑曲線？②函數(shù)y=(-4)^x的圖像是什么？光滑嗎？③怎樣對(duì)初中生解釋光滑？ 第一，函數(shù)在某點(diǎn)處的極限就是它的函數(shù)值，則稱函數(shù)在此點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在這區(qū)間是連續(xù)的。函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，則稱為函數(shù)是光滑的。 第二，函數(shù)y=(-4)^x，中學(xué)階段對(duì)它不予研究。在高等代數(shù)里，函數(shù)y=(-4)^x寫成y=e^[xln(-4)]的形式。它是連續(xù)的、可微的函數(shù)。其圖像涉及四維空間，是畫不出來(lái)的。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，形如y=z^x(z≠0且z≠1)稱為指數(shù)函數(shù)。y=(-4)^x當(dāng)然是指數(shù)函數(shù)。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們對(duì)底數(shù)作了“硬性”規(guī)定，即在指數(shù)函數(shù)y=a^x中，規(guī)定a>0,且a≠1。這樣做，為避免超出中學(xué)生的認(rèn)知范圍。 第三，對(duì)初中生解釋什么叫光滑，可以用日常生活常識(shí)加以說(shuō)明。還可以告訴他們，這在數(shù)學(xué)上是有嚴(yán)格定義的，大學(xué)數(shù)學(xué)里可以學(xué)到它。 學(xué)無(wú)止境。我們學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，那就是滄海一粟。不僅我們自己要有自知之明，也要告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)并不僅僅中學(xué)甚至大學(xué)所學(xué)的那一點(diǎn)內(nèi)容。 在教學(xué)中，涉及數(shù)學(xué)的某些結(jié)論，如果我們還不懂或不知道，那么在學(xué)生面前不要輕易地加以肯定或否定。
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