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等腰三角形悖論 任意△ABC。 先做出∠A的平分線，它與BC的中垂線交于O點(diǎn)， 過點(diǎn)O分別作AB和AC的垂線，垂足為E和D ∵∠EAO=∠DAO，AO=AO， △AOD和△AOE均為Rt△ 即∠AED=∠AFD=90度 ∴△AEO≌△ADO（AAS） ∴EO=DO，AE=AD。 ∵OH是BC的中垂線 ∴OB=OC（中垂線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等） ∵△DOB和△EOC也是Rt△ ∴Rt△DOB≌Rt△EOC（HL） ∴DB=CE 由已證的AE=AD可得 AE EC=AD BD 即AB=AC 這就說明△ABC是等腰三角形
 同理可得
所有三角形都是等腰三角形！
提示： (任何非等腰三角形的角平分線與其對邊的垂直平分線一般不可能在三角形內(nèi)相交） ——《pengxq書齋》 2016-12-22
等腰三角形悖論 命題:如果有一個三角形，那么該三角形為等腰三角形。 論證:在△ABC中，E是∠A的角平分線和BC垂直平分線的交點(diǎn)，EF，EG是垂直于邊AB，AC的垂足是F，G.容易得到△AEF≌△AEG(ASA)，△EFB≌△EGC(HL).所以有AF=AG，BF=CG，所以有AB=AC，三角形ABC是等腰三角形了! 這個結(jié)論肯定是錯誤的，因?yàn)楹苋菀鬃鞒鲆粋€三條邊長分別為3，4，5的三角形，利用反證法即可推翻該悖論，它當(dāng)然不是等腰三角形，而我們的結(jié)論卻說這樣一個三角形也一定是等腰的。那么，錯誤出在哪里呢? 問題在于:E點(diǎn)的位置一般來說總在△ABC的外面(且在非等腰三角形中得到的兩條線段一個是加一個減，必定不相等)而不是它的里面?？梢娬_作圖也可以幫助我們理解許多問題。 說明:在△ABC中，D是∠A的角平分線和BC垂直平分線的交點(diǎn),由圖可知，無論是銳角、直角還是鈍角三角形，點(diǎn)D都不在△ABC內(nèi)。 現(xiàn)在，這條悖論就不攻自破了。 |
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