“全等三角形”一章首先讓學(xué)生認識形狀、大小相同的圖形，給出全等三角形的概念，然后讓學(xué)生探索兩個三角形全等的判定方法，并利用三角形全等進行證明，最后學(xué)習(xí)角的平分線的性質(zhì)及相關(guān)證明。

　　本章教學(xué)時間約需11課時，具體分配如下（僅供參考）：

　　11．1 全等三角形                                        1課時

　　11．2 三角形全等的判定                                   6課時

　　11．3 角的平分線的性質(zhì)                                   2課時

　　數(shù)學(xué)活動

　　小結(jié)                                                     2課時

　　一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標

　　本章知識結(jié)構(gòu)框圖：

　　本章的主要內(nèi)容是全等三角形，主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)及各種三角形全等的判定方法，同時學(xué)會如何利用全等三角形進行證明。本章分三節(jié)，第一節(jié)介紹全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性質(zhì)。第二節(jié)介紹一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一個特殊的判定方法。在第三節(jié)，利用三角形全等的判定方法證明了角平分線的性質(zhì)，并利用角的平分線的性質(zhì)進行證明。

　　學(xué)生已學(xué)過線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關(guān)知識，七年級兩冊教科書中安排了一些說理的內(nèi)容，這些為學(xué)習(xí)全等三角形的有關(guān)內(nèi)容作好了準備。通過本章的學(xué)習(xí)，可以豐富和加深學(xué)生對已學(xué)圖形的認識（如兩個三角形滿足一定的條件就完全一樣了，角的平分線上的一點到角的兩邊的距離相等），同時為學(xué)習(xí)其他圖形知識打好基礎(chǔ)。全等三角形是研究圖形的重要工具，學(xué)生只有掌握好全等三角形的內(nèi)容，并且能靈活地運用它們，才能學(xué)好四邊形、圓等內(nèi)容。

　　從本章開始，要使學(xué)生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式。這既是本章的重點，也是教學(xué)的難點。教科書把研究三角形全等條件的重點放在第一個條件（“邊邊邊”條件）上，使學(xué)生以“邊邊邊”條件為例，理解什么是三角形的判定，怎樣判定。在掌握了“邊邊邊”條件的基礎(chǔ)上，使學(xué)生學(xué)會怎樣運用“邊邊邊”條件進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程。“邊邊邊”條件掌握好了，再學(xué)習(xí)其他條件就不困難了。

　　在“三角形全等的判定”一節(jié)中，得出如下結(jié)論：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。用這些結(jié)論可以判定兩個三角形全等。三角形全等的這些判定方法都是可以證明的，都可以作為定理處理。但是，這些定理（除“邊邊邊”定理外）的證明方法都比較特殊。學(xué)生開始學(xué)習(xí)這些判定定理時，掌握定理的內(nèi)容并不困難，困難的是定理的證明，而這些特殊的證明方法，在正式學(xué)習(xí)推理證明的開始階段，并不要求學(xué)生掌握。所以為了突出重點，突出判定方法這條主線，本章中上述判定方法都是作為基本事實（公理）提出來的，通過畫圖和實驗，使學(xué)生確信它們的正確性。值得注意的是，本節(jié)中的另一個判定方法“兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，則是利用“兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”證明的。

　　運用三角形全等的條件可以判定兩個直角三角形全等。還可以利用“斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”判定兩個直角三角形全等。本章中這個判定方法是作為基本事實（公理）提出來的，也是通過畫圖和實驗，使學(xué)生確信它的正確性。

　　在“角的平分線的性質(zhì)”一節(jié)中，介紹了角的平分線的作法，以及“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”兩個結(jié)論。教科書用三角形全等證明了前一個結(jié)論，并結(jié)合證明過程總結(jié)了證明一個幾何命題的一般步驟。這兩個結(jié)論是互逆定理。為了保證學(xué)生在本章學(xué)好簡單證明的重點，本章暫不介紹互逆命題、互逆定理等內(nèi)容，這些內(nèi)容在八年級下冊“勾股定理”一章中介紹。本節(jié)例題讓學(xué)生證明三角形兩條對角線的交點到三角形三邊的距離相等，并進一步讓學(xué)生得出這個交點在第三條角平分線上，即三角形的三條角平分線交于一點。這也為學(xué)生今后在“圓”一章學(xué)習(xí)內(nèi)心作好了準備。

　　本章的學(xué)習(xí)目標如下：

　　1．了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準確地辨認全等三角形中的對應(yīng)元素。

　　2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式。

　　3．了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明。

　　二、本章編寫特點

　　（一）注重探索結(jié)論

　　在“三角形全等的判定”一節(jié)設(shè)計了8個探究，讓學(xué)生經(jīng)歷三角形全等條件的探索過程，突出體現(xiàn)新教材的設(shè)計思想：

　　探究1：兩個三角形滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等這六個條件中的一個或兩個，兩個三角形是否一定全等；

　　探究2：三邊對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究3：兩邊及其夾角對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究4：兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究5：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究6：兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究7：三個角對應(yīng)相等，兩個三角形是否一定全等；

　　探究8：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，兩個直角三角形是否一定全等。

　　探究2～7讓學(xué)生探索兩個三角形滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等六個條件中的三個，兩個三角形是否一定全等?？偟陌l(fā)展脈絡(luò)是三邊，兩邊一角（包括探究3，探究4兩種情況），一邊兩角（包括探究5，探究6兩種情況），三個角，這樣學(xué)生容易把握探索的過程。

　　探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情況，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情況。這樣的處理也與先給出可判定全等的情況再給出不一定能判定全等的情況的處理不同，盡量排除人為安排的因素，呈現(xiàn)更為自然。

　　學(xué)完三角形全等的判定方法，讓學(xué)生將三角形全等的判定方法運用于直角三角形，討論得出直角三角形全等的判定方法。其中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等不能運用三角形全等的判定方法，又需要學(xué)生進一步加以實驗探索。

　　（二）注重推理能力的培養(yǎng)

　　本章在七年級下冊第七章出現(xiàn)證明和證明格式的基礎(chǔ)上，進一步介紹推理論證的方法。要求學(xué)生有理有據(jù)地推理證明，精練準確地表達推理過程，是比較困難的。為了解決這個難點，教科書做了一些努力。

　　1．注意減緩坡度，循序漸進。開始階段，證明的方向明確，過程簡單，書寫容易規(guī)范化。這一階段要求學(xué)生體會例題的證明思路及格式，然后再逐步增加題目的復(fù)雜程度，小步前進，每一步都為下一步做準備，下一步又注意復(fù)習(xí)前一步訓(xùn)練的內(nèi)容。通過精心選擇全等三角形的證明問題，減緩學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的坡度。

　　2．在不同的階段，安排不同的練習(xí)內(nèi)容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。先讓學(xué)生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。在此之后安排的問題涉及以前學(xué)過的平行線等內(nèi)容，重點培養(yǎng)學(xué)生分析問題、根據(jù)需要選擇有關(guān)的結(jié)論去證明的能力。

　　3．注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會思考問題，注重書寫格式，讓學(xué)生學(xué)會清楚地表達思考的過程。例如，在“三角形全等的判定”一節(jié)證明例1的結(jié)論“△ABD≌△ACD”以前，首先指出證題的思路：“要證△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應(yīng)相等?！睘榱饲宄乇磉_上述思考過程，引入“∵”“∴”及綜合法證明的格式，把證明的過程簡明地表達出來。

　?。ㄈ┳⒅芈?lián)系實際

　　在“全等三角形”一節(jié)，教科書從實際例子引入全等形的概念，并讓學(xué)生舉出一些例子。這樣做既可以使學(xué)生易于理解相關(guān)概念，也可以調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性。又如，從分析平分角的儀器的原理引入角的平分線的畫法。再如，通過確定集貿(mào)市場的位置的問題引出“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的結(jié)論，使學(xué)生看到理論來自實際的需要。

　　用三角形全等可以說明實際測量方法的道理，教科書在例題和習(xí)題中安排了測量池塘兩端的距離、測量河兩岸相對兩點的距離、用卡鉗測量工件的內(nèi)槽寬等內(nèi)容，還安排了利用三角形全等測量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動。

　　三、幾個值得關(guān)注的問題

　　（一）關(guān)于內(nèi)容之間的聯(lián)系

　　在“全等三角形”一節(jié)，讓學(xué)生通過觀察、思考得出平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等的結(jié)論。這樣處理一方面可以復(fù)習(xí)鞏固全等三角形的概念，另一方面也使學(xué)生在某些情況下容易找到全等三角形的對應(yīng)元素。

　　在“三角形全等的判定”一節(jié)，把三角形的畫法與三角形全等判定方法的探索相結(jié)合。也就是說，不直接給出三角形全等的判定方法，而是讓學(xué)生畫出與已知三角形某些元素對應(yīng)相等的三角形，畫完以后，再剪剪量量，在這個基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生思考，判定兩個三角形全等需要什么條件。這樣讓學(xué)生自己動手畫圖實驗，就會對相關(guān)結(jié)論印象深刻。這樣做的另一個好處是，避免單獨講三角形畫法的單調(diào)枯燥。

　　為了使學(xué)生更全面地認識“全等”和“全等三角形”，教科書安排了“閱讀與思考 全等與全等三角形”。這篇閱讀材料以師生對話的形式對“全等”和“全等三角形”的相關(guān)問題作了進一步的介紹。全等是幾何中的重要概念，是學(xué)生今后幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。以三角形為載體介紹全等的知識，原因主要包括兩個方面：一是三角形是最簡單的多邊形，可使學(xué)生在相對簡單的圖形環(huán)境中學(xué)習(xí)全等；二是任意多邊形都可以分解為若干三角形，從而有利于把全等的知識推廣到其他多邊形。對全等三角形的研究分為“性質(zhì)”和“判定”兩個方面，這兩個方面是相輔相成的。認識到這一點，有利于學(xué)生今后對如平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識的學(xué)習(xí)。

　　作圖內(nèi)容在本章中是分散安排的，小結(jié)時應(yīng)注意復(fù)習(xí)本章中涉及的下面幾種作圖：

　　（1）已知三邊作三角形；

　　（2）作一個角等于已知角；

　　（3）已知兩邊和它們的夾角作三角形；

　?。?span>4）已知兩角和它們的夾邊作三角形；

　?。?span>5）已知斜邊和一條直角邊作直角三角形；

　?。?span>6）作已知角的平分線。

　　（二）關(guān)于證明

　　解決推理入門難是本章的難點，除了教科書作了一些安排外，教師在教學(xué)中要特別注意調(diào)動學(xué)生動腦思考。只有學(xué)生自己思考了，才能逐步熟悉推理的過程，掌握推理的方法。課堂上要注意與學(xué)生共同活動，不要形成教師講，學(xué)生聽的局面。教師課堂上多提些問題，并注意留給學(xué)生足夠的思考時間。

　　一般情況下，證明一個幾何中的命題有以下步驟：

　　（1）明確命題中的已知和求證；

　　（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；

　　（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

　　分析證明命題的途徑，這一步學(xué)生比較困難，需要在學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力。在一般情況下，不要求寫出分析的過程。有些題目已經(jīng)畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了。

　　證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”。這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的重要結(jié)論。

　　在本章中還會遇到通過舉反例說明兩個三角形滿足某些條件不一定全等。判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例。找反例對學(xué)生來說是比較困難的，學(xué)生在一般情況下不容易發(fā)現(xiàn)反例。教師要根據(jù)學(xué)生的情況進行指導(dǎo)，盡量多發(fā)現(xiàn)幾個反例，使學(xué)生學(xué)會舉反例。