圓錐曲線方程
考試內(nèi)容：
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的簡單幾何性質(zhì)．橢圓的參數(shù)方程．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．拋物線的簡單幾何性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求：
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)．
數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．
§08. 圓錐曲線方程 知識要點
一、橢圓方程.
1. 橢圓方程的第一定義：
⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
i. 中心在原點，焦點在x軸上：
. ii. 中心在原點，焦點在
軸上：
.
②一般方程：
.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：
的參數(shù)方程為
（一象限
應(yīng)是屬于
）.
⑵①頂點：
或
.②軸：對稱軸：x軸，
軸；長軸長
，短軸長
.③焦點：
或
.④焦距：
.⑤準(zhǔn)線：
或
.⑥離心率：
.⑦焦點半徑：
i.
設(shè)
為橢圓
上的一點，
為左、右焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設(shè)
為橢圓
上的一點，
為上、下焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：
歸結(jié)起來為“左加右減”.
注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得
方程的軌跡為橢圓.
⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：
和
⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓
的離心率是
，方程
是大于0的參數(shù)，
的離心率也是
我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
⑸若P是橢圓：
上的點.
為焦點，若
，則
的面積為
（用余弦定理與
可得）. 若是雙曲線，則面積為
.
二、雙曲線方程.
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：
. 一般方程：
.
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點：
焦點：
準(zhǔn)線方程
漸近線方程：
或
ii. 焦點在
軸上：頂點：
. 焦點：
. 準(zhǔn)線方程：
. 漸近線方程：
或
，參數(shù)方程：
或
.
②軸
為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率
. ④準(zhǔn)線距
（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑
. ⑤參數(shù)關(guān)系
. ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程
（
分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
“長加短減”原則：
構(gòu)成滿足
（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）
⑶等軸雙曲線：雙曲線
稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為
，離心率
.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.
與
互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：
.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：
的漸近線方程為
如果雙曲線的漸近線為
時，它的雙曲線方程可設(shè)為
.
例如：若雙曲線一條漸近線為
且過
，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為：
，代入
得
.
⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：
區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.
（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入
法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若P在雙曲線
，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.
簡證：
= 
.
常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.
三、拋物線方程.
3. 設(shè)
，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：
|
|
|
|
|
|
|
圖形 |
|
|
|
|
|
焦點 |
|
|
|
|
|
準(zhǔn)線 |
|
|
|
|
|
范圍 |
|
|
|
|
|
對稱軸 |
 軸
|
 軸
|
|
頂點 |
（0，0） |
|
離心率 |
|
|
焦點 |
|
|
|
|
注：①
頂點
.
②
則焦點半徑
;
則焦點半徑為
.
③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.
④
（或
）的參數(shù)方程為
（或
）（
為參數(shù)）.
四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..
4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線
的距離之比為常數(shù)
的點的軌跡.
當(dāng)
時，軌跡為橢圓；
當(dāng)
時，軌跡為拋物線；
當(dāng)
時，軌跡為雙曲線；
當(dāng)
時，軌跡為圓（
，當(dāng)
時）.
5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的.
因為具有對稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點重合即可.
注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
|
|
橢圓 |
雙曲線 |
拋物線 |
|
定義 |
1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡 |
1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡 |
|
|
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0<e<1） |
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1） |
與定點和直線的距離相等的點的軌跡. |
|
圖形 |
|
|
|
|
方
程 |
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
 ( >0)
|
 (a>0,b>0)
|
y2=2px |
|
參數(shù)方程 |
|
|
 (t為參數(shù))
|
|
范圍 |
─a￡x￡a，─b￡y￡b |
|x| 3 a，y?R |
x30 |
|
中心 |
原點O（0，0） |
原點O（0，0） |
|
|
頂點 |
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) |
(a,0), (─a,0) |
(0,0) |
|
對稱軸 |
x軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b |
x軸，y軸;
實軸長2a, 虛軸長2b. |
x軸 |
|
焦點 |
F1(c,0), F2(─c,0) |
F1(c,0), F2(─c,0) |
|
|
焦距 |
2c （c= ） |
2c （c= ） |
|
|
離心率 |
   
|
|
e=1 |
|
準(zhǔn)線 |
x= |
x= |
|
|
漸近線 |
|
y=± x |
|
|
焦半徑 |
|
|
|
|
通徑 |
|
|
2p |
|
焦參數(shù) |
|
|
P |
1. 橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).
2. 等軸雙曲線
3. 共軛雙曲線
5. 方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.
6.共漸近線的雙曲線系方程.
