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在《圓的一個有趣性質(zhì)》一文里，用到了角分線定理，并且還用到了角平分線定理的一個推廣。在這里有必要介紹這個著名的角平分線定理，并且將對其推廣做一個介紹。 一：角平分線定理  三角形ABC中，AD為角A角平分線，交對邊BC與D，則下面的恒等式成立  換句話說，在三角形中，一角的角平分線將對邊所分成的兩部分和兩兩鄰邊成比例。這個定理的逆定理也是成立的，從三角形一頂點發(fā)出的一直線，將對邊所內(nèi)分成的兩部分和鄰邊稱比例，則此線是頂角的平分線。 定理與其逆定理，就是角平分線定理的全部。對于其逆定理的證明也是有些意思的：因為三角形是一定的，所以BC邊是定的，在BC邊上只可能找出一點，使得這點將BC內(nèi)分成的兩部分的比例等于已知值。所以一旦BD/DC固定，那么D點就固定，而定理顯示，角平分線的D點滿足要求，所以這一點就是∠A的平分線足。由此證明AD就是其角平分線。 如果各位對角平分線定理的證明都還不太明白的話，建議參考百度。下面我們來介紹角平分線定理的一個推廣 二：外角平分線定理 注意我們角平分線定理中加紅的兩個字——“內(nèi)分”，也就是說D點在BC內(nèi)部，現(xiàn)在的情況你將看到： 在三角形中，一角的外角平分線將對邊所分成的兩部分也和兩鄰邊成比例  如圖，AE為三角形BAC角A的外角平分線，交BC得延長線與點E ，則下面的式子成立  至于這個定理的證明方法，給大家一個提示，就是過C點做AE的平行線交AB于F，利用平行關(guān)系得出比例關(guān)系，然后利用ACF是一個等腰三角形，進行等量替換即可。 運用相同的辦法可以證明其逆定理也成立： 若從三角形頂點發(fā)出的一直線，將對邊所外分成的兩部分和兩鄰邊成比例，則此線是頂角的外角平分線。 這就是推廣后的角平分線定理，也將我們的實現(xiàn)擴大到了外分線段，而不僅僅局限于內(nèi)分。這個定理非常有用的，不管是計算還是證明，比如我們在就利用他證明出了圓的一個有趣性質(zhì)：《圓的一個類似于圓錐曲線的性質(zhì)》。 |
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