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十七世紀(jì)，微分和幾分運(yùn)算的發(fā)明，同力學(xué)的發(fā)展緊密相連。這是因?yàn)榱W(xué)需要方便和可靠的運(yùn)算，歐幾里得的幾何學(xué)與十六世紀(jì)代數(shù)學(xué)已不能適應(yīng)新的需要。其次，到了十七世紀(jì)，在數(shù)學(xué)方面，人們已研究了無理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)，在代數(shù)關(guān)系中也引入了字母作為抽象量的符號(hào)，并廣泛地討論了無限大和無限小及與之有關(guān)的變化、連續(xù)等概念。所有這些，都為微積分的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601～1665）和笛卡爾，用代數(shù)方法研究幾何問題，創(chuàng)立了坐標(biāo)幾何或稱解析幾何。其中心思想是把代數(shù)方程和曲線、曲面等聯(lián)系了起來。
費(fèi)馬1601年8月17日生于法國南部博蒙—德洛馬涅，1665年1月12日卒于卡斯特爾。他利用公務(wù)之余鉆研數(shù)學(xué)，在數(shù)論、解析幾何學(xué)、概率論等方面都有重大貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。
費(fèi)馬最初學(xué)習(xí)法律，但后來卻以圖盧茲議會(huì)的議員終其一生。他博覽群書，精通數(shù)國文字，掌握多門自然科學(xué)。雖然年近三十才認(rèn)真注意數(shù)學(xué)，但成果累累。他性情淡泊，為人謙遜，對(duì)著作無意發(fā)表。去世后，很多論述遺留在舊紙堆里，或書頁的空白處，或在給朋友的書信中。他的兒子S·費(fèi)馬將這些匯集成書，共兩卷，在圖盧茲出版（1679）。
費(fèi)馬特別愛好數(shù)論，他證明或提出許多命題，最有名的是“費(fèi)馬大定理”，即：不可能有滿足 的正整數(shù)x、y、z、n存在。這命題他寫在丟番圖《算術(shù)》（拉丁文本，1621）第2卷的空白處：“……將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”由于后來找不到費(fèi)馬的證明，激發(fā)起歷代數(shù)學(xué)家的興趣，然而至今仍未得到普遍的證明。
和笛卡爾同時(shí)或較早，費(fèi)馬已得到解析幾何的要旨。他在《平面與立體軌跡引論》（開始于1629年，1636年前完成；“立體軌跡”指不能用規(guī)尺作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同）一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過方程的研究推斷曲線的性質(zhì)。他用的一種傾斜坐標(biāo)，y軸沒有明顯出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，他以此坐標(biāo)系給出了較復(fù)雜的二次方程。在他1637年的《求最大值和最小值的方法》中，引進(jìn)了曲線 和 。不過，以后通用的則是笛卡爾的坐標(biāo)系。因此，他和笛卡爾分享創(chuàng)立解析幾何的榮譽(yù)。
費(fèi)馬是微積分學(xué)的先驅(qū)。他在給G·P·羅貝瓦爾和笛卡爾的信（1636，1638）中提出求極大、極小的步驟，實(shí)際已相當(dāng)于令導(dǎo)數(shù)為零，求出極點(diǎn)的方法。他曾討論曲線 下的面積，這是積分學(xué)的前期工作。費(fèi)馬還是十七世紀(jì)興起的概率論的探索者之一。他提出光學(xué)的“費(fèi)馬原理”，給后來變分法的研究以極大的啟示。
笛卡爾在1637年出版他的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，此書是文學(xué)和哲學(xué)的著作，包括三個(gè)附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》。其中《幾何》部分包括了他關(guān)于坐標(biāo)幾何和代數(shù)的思想。這是笛卡爾所寫的唯一數(shù)學(xué)著作，其余則主要靠通信傳播他的數(shù)學(xué)思想。
笛卡爾認(rèn)為數(shù)學(xué)可以有效地應(yīng)用到科學(xué)中去，但希臘人的幾何學(xué)過于抽象，而且過多地依賴于圖形；當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)又完全受法則和公式的控制，以至于成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不象一門改進(jìn)思想的科學(xué)。他因此主張采取代數(shù)和幾何中的一切最好的東西，互相取長補(bǔ)短。
在《幾何》中，他開始用代數(shù)來解決幾何作圖問題，后來才出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。笛卡爾這時(shí)使用的仍是傾斜坐標(biāo)系，方程的x、y只取正值，但他附帶說明方程所代表的曲線不局限在第一象限，并說明了在其他象限可能出現(xiàn)的情況。
在論述了曲線方程的思想之后，笛卡爾斷言，容易證明曲線的次與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。他還提出兩個(gè)不同的曲線，用同一坐標(biāo)軸來寫出它們的方程，并且聯(lián)立地解出這兩個(gè)方程便可以求出這兩條曲線的交點(diǎn)。他還明確地定義，幾何曲線是可以用唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程來表示的曲線。笛卡爾對(duì)幾何曲線進(jìn)行了分類，含x和y的一次和二次曲線屬于第一類。他提出圓錐曲線的方程是二次，但沒有證明。三次和四次方程的曲線，構(gòu)成第二類。五次和六次方程的曲線，構(gòu)成第三類等等。在這里他是為了強(qiáng)調(diào)曲線方程的次是衡量曲線簡繁的標(biāo)準(zhǔn)。他把曲線的次強(qiáng)調(diào)得過于重要，以致于以為象笛卡爾葉線 這樣復(fù)雜的曲線會(huì)比 還要簡單。
在費(fèi)馬和笛卡爾工作的基礎(chǔ)上，十七世紀(jì)坐標(biāo)幾何學(xué)有了很大的擴(kuò)展。英國數(shù)學(xué)家沃利斯（John Wallis，1616～1703）在《論圓錐曲線》中，第一次得到圓錐曲線的方程，并證明這些曲線確實(shí)就是幾何里的圓錐曲線；他還是第一個(gè)有意識(shí)地引進(jìn)負(fù)的縱橫坐標(biāo)的人。但十七甚至十八世紀(jì)，人們一般只用一根坐標(biāo)軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。坐標(biāo)幾何通過牛頓、貝努利（J. Bernoulli，1667～1748）等人的工作有了進(jìn)一步的發(fā)展。他們引進(jìn)了極坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)了許多新的曲線，還較詳細(xì)地討論了三維坐標(biāo)幾何中的曲面方程等。
坐標(biāo)幾何的重要性在于：一方面，幾何概念可用代數(shù)表示，幾何的目標(biāo)可通過代數(shù)達(dá)到；反之，它又可以給代數(shù)語言以幾何的解釋，可以直觀地掌握那些語言的意義，又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論。拉格朗日在他的《數(shù)學(xué)概要》中曾具體闡述了這些優(yōu)點(diǎn)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸納新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！睂?shí)際上，十七世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于坐標(biāo)幾何。
坐標(biāo)幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著重要的地位。西方從希臘時(shí)代到十七世紀(jì)以前，幾何統(tǒng)治著數(shù)學(xué)，代數(shù)居于附庸的地位；從十七世紀(jì)開始，代數(shù)成為基本的數(shù)學(xué)部門，而微積分將成為決定的因素。在這轉(zhuǎn)折的過程中，坐標(biāo)幾何為代數(shù)的運(yùn)用鋪平了道路，為以后微積分的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。
微積分的創(chuàng)立，首先是為了解決十七世紀(jì)力學(xué)科學(xué)問題。它主要提出了以下四類問題：第一類問題是這時(shí)人們已經(jīng)知道物體運(yùn)動(dòng)的距離表示為時(shí)間的函數(shù)，但要求出物體在任意時(shí)刻的速度和加速度問題；反之已知物體的加速度表示為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。根據(jù)物理學(xué)原理，每一個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體，在其運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必定有瞬時(shí)速度，但過去計(jì)算某一時(shí)間間隔的平均速度的作法已經(jīng)失效，因?yàn)橐苿?dòng)的距離和所用的時(shí)間都為0，出現(xiàn)了0/0而無意義。第二類的問題是求曲線的切線，這個(gè)問題除已知的純幾何的需要外，光學(xué)的研究和透鏡的設(shè)計(jì)，都必須知道光線射入透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律。光線的入射角與光線同曲線的法線有關(guān)，法線是垂直于切線的；再者研究運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向，是軌跡的切線方向。第三類問題是求函數(shù)的最大值與最小值問題，例如研究炮彈獲得最大射程的發(fā)射角等。第四類問題是求曲線長，求曲線圍成的面積，曲面圍成的體積以及物體的重心等。
微積分的問題被十七世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家探索過，并作了大量的工作，微積分的發(fā)展經(jīng)歷了一條漫長而曲折的道路，牛頓和萊布尼茨則是繼承前人的成就，作出了創(chuàng)立微積分的重要貢獻(xiàn)。
關(guān)于求最大值和最小值問題，開普勒曾作過具有開創(chuàng)性的研究。他的研究是從一個(gè)實(shí)際問題引起的：求一個(gè)酒桶的比例。他對(duì)奧地利酒桶進(jìn)行了觀測(cè)，其研究結(jié)果于1615年發(fā)表，即《新空間幾何》，其中第二部分是對(duì)奧地利酒桶進(jìn)行測(cè)量。他證明在有內(nèi)接球面的、具有正方形底的正平行六面體中，立方體的容積最大。開普勒還將球看作由無限個(gè)無限小的錐體所形成，錐的頂點(diǎn)就是球的中心，底面構(gòu)成球的表面，于是指出球的體積是半徑與球面積乘積的三分之一。他將錐和柱看作由無窮多個(gè)薄圓片組成，并且用這個(gè)觀點(diǎn)計(jì)算其體積。同樣，他令圓繞一直線旋轉(zhuǎn)，并用無限小方法計(jì)算由這樣產(chǎn)生的圓球的體積。
開普勒的一些求和方法對(duì)于后來積分運(yùn)算也具有先驅(qū)作用。例如在1609年他發(fā)表的著名的《新天文學(xué)》中，有類似于現(xiàn)代符號(hào)表達(dá)的公式： 。自然，開普勒對(duì)這里所包含的基本概念，遠(yuǎn)沒有搞清楚，他所用的無限小元素概念也是含混的，但他的這些論著對(duì)后來微積分的發(fā)展，對(duì)牛頓及其其他數(shù)學(xué)家都有重要的影響。
伽利略對(duì)等加速運(yùn)動(dòng)（自由落體）詳細(xì)觀測(cè)后指出：如把時(shí)間區(qū)間分細(xì)，則物體在每區(qū)間經(jīng)過的路程將與1，3，5，7，……成比例，這個(gè)結(jié)果相當(dāng)于表達(dá)式 。伽利略的證明是運(yùn)用幾何的方法，而且引用了不可分量和數(shù)學(xué)無限小的概念。他在《兩種新科學(xué)的對(duì)話》中，廣泛地討論了無限大、無限小等概念的性質(zhì)，但他又說“無限和不可分量的本質(zhì)是我們不可理解的”。他還堅(jiān)持連續(xù)量是由不可分量所組成，各部分的個(gè)數(shù)無限多，但它不象一堆細(xì)小的粉末，而是象流體那樣把各部分凝成一個(gè)整體。這個(gè)比擬是人類用某種方法來描繪從有限向無限過渡的極好例證。
關(guān)于求曲線的切線方法，費(fèi)馬、笛卡爾都作過研究。I·巴羅也給出了求曲線的切線方法。他的幾何方法的特點(diǎn)是運(yùn)用了后人稱為微分三角形的概念。巴羅的主要著作《幾何講義》（1669年出版）是對(duì)微積分的一個(gè)巨大貢獻(xiàn)，因?yàn)檫@本書里不僅有求切線的方法，還有兩個(gè)函數(shù)的積和商的微分定理，x的冪的微分，求曲線的長度，甚至隱函數(shù)的微分定理等。他的學(xué)生牛頓以及萊布尼茨等都從這本書中受到很大教益。
其他如伽利略的學(xué)生卡瓦列利（B. Cavalieri，1598～1647）也考察了微積分的方法，他用幾何的方法證明了對(duì)于從1到9的正整數(shù)n的公式（按現(xiàn)代在記法）是： 。英國數(shù)學(xué)家沃利斯在他的《無窮的算術(shù)》（1655年）中，運(yùn)用分析法和不可分法求出了許多面積，并得到廣泛而有用的結(jié)果。
總之在牛頓、萊布尼茨以前，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來了。而且，微積分的主要特征，即積分可以由微分的逆過程求得，這一關(guān)系的很多跡象早已遇到過，但它的意義當(dāng)時(shí)卻沒有人體會(huì)到。當(dāng)時(shí)求曲線的切線和面積以及求曲線的最大值與切線問題，人們對(duì)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)從已解決的特殊性問題中認(rèn)識(shí)其普遍性都還沒有解決。至于導(dǎo)數(shù)和極限的概念更要經(jīng)過漫長的認(rèn)識(shí)過程才能獲得。
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